Vandermonde-determináns

A Vandermonde-determináns egy speciális, a lineáris algebrában és a matematika más ágaiban is gyakran használt nevezetes determináns.

Alakja:

$V(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n-1}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&\dots &x_{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\dots &x_{n}^{n-1}\\\end{vmatrix}}$

A felírásból rögtön látszik, hogy $x_{1},\ldots ,x_{n}$ változóknak csaknem – előjel erejéig – szimmetrikus polinomja. Ez a kis hiányosság a szimmetriában adja voltaképp a Vandermonde-determináns diszkrét báját a csoportelméletben, mert $x_{1},\ldots ,x_{n}$ változóknak pontosan azok a páros permutációi, amikkel permutálva a Vandermonde-determináns argumentumait az fixen marad.

Kiszámítása

Értéke szorzattá alakítható:

$V(x_{1},\dots ,x_{n})=\prod _{j<i}(x_{i}-x_{j}).$

Bizonyítás

Indukcióval

Ezt az azonosságot n-re vonatkozó teljes indukcióval igazoljuk. Az n=2 eset

$V(x_{1},x_{2})={\begin{vmatrix}1&1\\x_{1}&x_{2}\\\end{vmatrix}}=x_{2}-x_{1}$

nyilvánvaló.

Tegyük fel, hogy n-1-re tudjuk az állítást és adott a

$V(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{vmatrix}1&1&1&\dots &1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&\dots &x_{n}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}&\dots &x_{n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&x_{3}^{n-1}&\dots &x_{n}^{n-1}\\\end{vmatrix}}$

determináns.

Az első oszlopot a további oszlopokból kivonva

${\begin{vmatrix}1&0&0&\dots &0\\x_{1}&x_{2}-x_{1}&x_{3}-x_{1}&\dots &x_{n}-x_{1}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}-x_{1}^{2}&x_{3}^{2}-x_{1}^{2}&\dots &x_{n}^{2}-x_{1}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}-x_{1}^{n-1}&x_{3}^{n-1}-x_{1}^{n-1}&\dots &x_{n}^{n-1}-x_{1}^{n-1}\\\end{vmatrix}}$

adódik.

E determinánst az első sor szerint kifejtve kapjuk, hogy értéke megegyezik a következő determináns értékével:

${\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&x_{3}-x_{1}&\dots &x_{n}-x_{1}\\x_{2}^{2}-x_{1}^{2}&x_{3}^{2}-x_{1}^{2}&\dots &x_{n}^{2}-x_{1}^{2}\\x_{2}^{3}-x_{1}^{3}&x_{3}^{3}-x_{1}^{3}&\dots &x_{n}^{3}-x_{1}^{3}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{2}^{n-1}-x_{1}^{n-1}&x_{3}^{n-1}-x_{1}^{n-1}&\dots &x_{n}^{n-1}-x_{1}^{n-1}\\\end{vmatrix}}$

adódik.

Az első oszlopból $(x_{2}-x_{1})$-et, a másodikból $(x_{3}-x_{1})$-et, … sorra kiemelve az alábbi determináns marad vissza:

${\begin{vmatrix}1&\dots &1\\x_{2}+x_{1}&\dots &x_{n}+x_{1}\\x_{2}^{2}+x_{2}x_{1}+x_{1}^{2}&\dots &x_{n}^{2}+x_{n}x_{1}+x_{1}^{2}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{2}^{n-2}+x_{2}^{n-3}x_{1}+\cdots +x_{1}^{n-2}&\dots &x_{n}^{n-2}+x_{n}^{n-3}x_{1}+\cdots +x_{1}^{n-2}\\\end{vmatrix}}$

Az utolsó, utolsó előtti,… sorból egymásután levonva az előző sor $x_{1}$-szeresét $V(x_{2},\dots ,x_{n})$-et kapjuk azaz

$V(x_{1},\dots ,x_{n})=(x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})\cdots (x_{n}-x_{1})V(x_{2},\dots ,x_{n})$

és indukciós feltevésünkkel készen vagyunk.

Felhasználva, hogy antiszimmetrikus polinom

Könnyen látható, hogy $V(x_{1},\dots ,x_{n})$-nek mint $x_{1}$ polinomjának gyöke $x_{2}$, hiszen beírva a determináns első két sora lineárisan összefügg. Így $(x_{1}-x_{2})$ kiemelhető, és ezért a sajátos szimmetriából adódóan $\pm (x_{i}-x_{j})$ is minden különböző i,j-re, de tekintve, hogy a $x_{1},\ldots ,x_{n}$ polinomjainak a gyűrűjében az $x_{i}-x_{j}$ alakú polinomok, ahol $i\neq j$, páronként relatív prímek, ezek szorzata is kiemelhető V-ből. Mivel ennek a szorzatnak a foka ${\binom {n}{2}}$, azaz éppen V foka, egymástól csak konstans szorzóban térnek el. Hogy ezt a konstansszorzót megállapítsuk, elegendő ugyanannak a tagnak az együtthatóját megvizsgálnunk: Mindkét polinomban könnyen meghatározhatjuk $x_{2}x_{3}^{2}\ldots x_{n}^{n-1}$ együtthatóját, ami történetesen mindkét ízben egy, így kapjuk, hogy:

$V=\prod _{j<i}{(x_{i}-x_{j})}$. Q. E. D.

Források

• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
• Fuchs László: Bevezetés az algebrába és a számelméletbe, Kézirat, Tankönyvkiadó, Budapest 1971.
• A. G. Kuros: Felsőbb algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, 1975. 55. old.