Cauchy–Hadamard-tétel

A Cauchy–Hadamard-tétel a komplex hatványsorok konvergenciasugaráról szól.

Jelölje R a $\liminf _{n\to \infty }{\frac {1}{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}$ nem negatív valós számot. Ekkor a $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ hatványsor abszolút konvergens az (esetleg elfajult) { |z| < R } körben, minden kicsit kisebb { |z| < r } r < R körben egyenletesen is konvergens, és divergens |z| > R -re.

Alkalmazások és következmények

A tétel segítségével belátható, hogy az exponenciális függvény hatványsora mindenütt konvergál a komplex síkon:

$R=\liminf _{n\to \infty }{\frac {1}{\sqrt[{n}]{|{\frac {1}{n!}}|}}}=\infty$

A tétel megmagyarázza, hogy miért nem konvergál az ${\frac {1}{1+x^{2}}}$ valós függvény hatványsora a (−1, 1) intervallumon kívül. Ugyanis a komplex számsíkra kiterjesztve a függvény hatványsora nem konvergálhat nagyobb körben, hiszen a függvénynek pólusa van i-ben.

A Cauchy–Hadamard-tétellel belátható, hogy a hatványsorba fejthető függvények akárhányszor differenciálhatóak, és az n-edik deriváltjuk megkapható a hatványsor formális n-edik deriváltjaként. A tétel következményeként adódik a hatványsor egyértelműsége is.

Bizonyítás

Legyen r₀ olyan, hogy $|a_{n}|r_{0}^{n}\leq M$ egy véges M nem negatív valós számra. Másként

$r_{0}\leq {\frac {\sqrt[{n}]{M}}{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}.$

Határátmenettel

$r_{0}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {1}{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}$

Az egyenlőtlenség a felső határra is fennáll, tehát

$R\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {1}{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}$

Legyen most

$0\leq r_{0}<\liminf _{n\to \infty }{\frac {1}{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}.$

Ekkor az alsó határérték definíciója szerint

$r_{0}<{\frac {1}{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}},$

ebből

$|a_{n}|r_{0}^{n}<1,$ ha n elég nagy.

$|a_{n}|r_{0}^{n}$ korlátos, tehát van ilyen M, és így $r_{0}\leq R.$ r₀-lal az alsó határértékhez (limesz inferiorhoz) tartva adódik az állítás első felének megfordítása.

Források

Halász Gábor: Komplex függvénytan