Cauchy-sorozat

A Cauchy-sorozatok Augustin Cauchy-ról kapták a nevüket, és fontos szerepet játszanak a matematikai analízisben. Szemléletesen, egy sorozat akkor Cauchy-sorozat, ha a sorozat elejét le tudjuk vágni úgy, hogy a maradék elemek tetszőlegesen közel legyenek egymáshoz.

Egy Cauchy-sorozat ábrázolása

Egy nem Cauchy sorozat ábrázolása

Definíció valós számsorozatokra

Egy {x₁,x₂,x₃,...} alakú, valós számokból álló sorozat akkor Cauchy-sorozat, ha minden pozitív valós ε-hoz találunk olyan N egész számot, hogy az N-nél nagyobb indexű elemek közül bármely kettő közti távolság kisebb, mint ε.

$(\forall \varepsilon >0)\quad (\exists N=N(\varepsilon ))\quad (\forall n,m\in \mathbb {N} )\quad \left[n>m>N\Rightarrow \left|x_{n}-x_{m}\right|<\varepsilon \right]$

A valós sorozatok esetében minden Cauchy-sorozatnak létezik határértéke, mert a valós számok halmaza teljes metrikus tér a szokásos abszolút érték metrikával.

Példák:

1. Az x_n=1/n, n=1,2,3,...sorozat Cauchy-sorozat. Ennek bizonyításához meg kell konstruálni az előre tetszőlegesen adott ε-hoz tartozó N=N(ε) küszöbindexet (a küszöbindex pozitív egész szám). Legyen tehát 0<ε tetszőlegesen adva, valamint n>m. Ekkor
   
   

          $|x_{n}-x_{m}|=\left|{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{m}}\right|={\frac {1}{m}}-{\frac {1}{n}}<{\frac {1}{m}}<\varepsilon \iff m>{\frac {1}{\varepsilon }}\Rightarrow \quad N=N(\varepsilon ):=\left[{\frac {1}{\varepsilon }}\right]+1$

A fenti jelölésben [x] az x valós szám egész részét jelöli. A fenti N küszöbindex eleget tesz a Cauchy-kritériumban kirótt követelményeknek, tehát a sorozat Cauchy-sorozat. Ez a sorozat konvergens is, ha alaptérnek a valós számok halmazát tekintjük. Nevezetesen $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$.

1. Legyen $x_{n}:=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\cos(j)}{j^{2}}}$. Megmutatjuk, hogy {x_n} Cauchy-sorozat. Most is legyen 0<ε tetszőlegesen adva, valamint n>m. Ekkor
   
   

          $|x_{n}-x_{m}|=\left|\sum _{j=m+1}^{n}{\frac {\cos(j)}{j^{2}}}\right|\leq \sum _{j=m+1}^{n}{\frac {|\cos(j)|}{j^{2}}}\leq \sum _{j=m+1}^{n}{\frac {1}{j^{2}}}<\sum _{j=m+1}^{n}{\frac {1}{j(j-1)}}=\sum _{j=m+1}^{n}\left({\frac {1}{j-1}}-{\frac {1}{j}}\right)={\frac {1}{m}}-{\frac {1}{n}}<{\frac {1}{m}}<\varepsilon \iff m>{\frac {1}{\varepsilon }}.$

Így a fenti sorozat valóban Cauchy sorozat. {x_n} valójában nem más, mint a $\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {\cos(j)}{j^{2}}}$ sor n-edik részletösszegeinek sorozata, vagyis azt bizonyítottuk, hogy a sor konvergens, hiszen a részletösszegek sorozata Cauchy-sorozat, így persze konvergens is.

Definíció metrikus terekre

A fenti definíció általánosítható úgy, hogy minden térben, ahol a távolság fogalma megfelelően értelmezett (azaz metrikus terekben), a Cauchy-sorozatok fogalma is értelmezett legyen.

Legyen $\ (X,d)$ metrikus tér. Ekkor az $x_{n}\in X$ sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük, ha minden $\varepsilon >0$-hoz van olyan $\ N$, hogy minden $\ n,m>N$ esetén $d(x_{n},x_{m})<\varepsilon$.

Nevezetes átfogalmazás: az $x_{n}\in X$ sorozat Cauchy-sorozat akkor és csak akkor, ha bármely $\varepsilon >0$-hoz található olyan $\ N$ küszöbszám, hogy a sorozat minden $\ N$-nél nagyobb $\ n$ indexű tagja benne van az $\ x_{N}$ elem $\varepsilon$ sugarú környezetében. Ez formálisan így néz ki:

$(\forall \varepsilon >0)\ (\exists N\in \mathbb {N} )\ (\forall n\in \mathbb {N} )\ \left[n>N\ \Rightarrow \ d(x_{n},x_{N})<\varepsilon \right].$

Az ekvivalencia bizonyítása: Legyen $x_{n}\in X$ Cauchy-sorozat, és válasszunk egy $\varepsilon >0$ számot. Így van olyan $\ N_{1}$ szám, hogy minden $\ n,m>N_{1}$ esetén $d(x_{n},x_{m})<\varepsilon$. $\ N:=N_{1}+1$, így minden $\ n>N$ esetén $d(x_{n},x_{N})<\varepsilon$.

Visszafele: legyen most $x_{n}\in X$ sorozat olyan, hogy teljesíti az átfogalmazásban leírt feltételt. Válasszunk $\varepsilon >0$ számot. Eszereint van olyan $\ N$, hogy minden $\ n>N$ esetén $d(x_{n},x_{N})<{\frac {\varepsilon }{2}}$. Legyen $\ n,m>N$, így a háromszög-egyenlőtlenség szerint: $d(x_{n},x_{m})\leq d(x_{n},x_{N})+d(x_{N},x_{m})<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon ,$ vagyis a sorozat valóban Cauchy-sorozat.

Kapcsolódó definíciók

Egy metrikus teret teljesnek nevezünk, ha abban minden Cauchy-sorozat konvergens.

Példák

A valós számok a szokásos metrikát tekintve teljes metrikus teret alkotnak, azaz a számegyenesen minden Cauchy-sorozat konvergens.

Ezzel szemben ez nem igaz a racionális számokra. Ugyanis, ha tekintünk egy racionális számokból álló konvergens sorozatot, aminek a határértéke irracionális, akkor ennek a nyilván Cauchy-sorozatnak nincs határértéke a racionális számok körében.

Például:

• A következőképp definiált sorozat x₀ = 1, x_n+1 = (x_n + 2/x_n)/2 racionális számokból áll (1, 3/2, 17/12,…), mely a definícióból nyilvánvaló; mégis az irracionális ${\sqrt {2}}$ értékhez tart (Newton-módszer).

Tulajdonságok

• Minden Cauchy-sorozat korlátos.
• Minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat.

Források

• Encyclopedia of Mathematics-on
• MathWorld-ön