Dandelin-gömb

A geometriában egy kúp síkmetszésével szerkesztett, nem degenerált kúpszelethez egy vagy két Dandelin-gömb rendelhető, mely a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

Ellipszis Dandelin-gömbjei

Minden Dandelin-gömb érinti, de nem hatja át a síkot és a kúpot.

Ezeket a gömböket Germinal Pierre Dandelin tiszteletére nevezték el.

Minden kúpszeletnek mindegyik fókuszához egy-egy Dandelin-gömb tartozik.

• Az ellipszisnek két Dandelin-gömbje van, ezek ugyanazt a félkúpot érintik.
• A hiperbolának két Dandelin-gömbje van, egyik az egyik, másik a másik félkúpot érinti.
• A parabolának csak egy Dandelin-gömbje van.

Dandelin tétele

A Dandelin-gömb a következő tétel miatt tart számot érdeklődésre:

Ahol a Dandelin-gömb érinti a síkot, az a pont a kúpszelet fókusza.

A Dandelin-tétel bizonyítása

Tekintsük az ábrát, ahol egy sík egy kúpból ellipszist metsz ki. Az ábrán feltüntettük a két Dandelin-gömböt. Mindkét gömb egy-egy körben érinti a kúpot. Mindkét gömb a síkot egy-egy pontban érinti. Nevezzük ezeket a pontokat $F_{1}\,$-nek és $F_{2}\,$-nek. Legyen $P\,$ az ellipszis egy tetszőleges pontja. Meg kell mutatnunk, hogy az ${\overline {F_{1}P}}+{\overline {F_{2}P}}$ távolság állandó marad, ha a $P\,$ pont tetszőleges helyzetet foglal el az ellipszis mentén. A $P\,$ ponton és a kúp csúcspontján át húzott egyenes a két kört a $P_{1}\,$ és $P_{2}\,$ pontban metszi. Ahogy a $P\,$ pontot elmozdítjuk az ellipszis mentén, a $P_{1}\,$ és $P_{2}\,$ pont is ennek megfelelően elmozdul a körök kerületén. Az ${\overline {F_{i}P}}\,$ távolság és a ${\overline {P_{i}P}}\,$ távolság egyenlő, mivel mindkettő ugyanabból a pontból ugyanahhoz a gömbhöz húzott érintő. Következésképpen az ${\overline {F_{1}P}}+{\overline {F_{2}P}}$ távolságnak állandónak kell maradnia, ahogy a $P\,$ pont a görbe mentén elmozdul, mivel a ${\overline {P_{1}P}}+{\overline {P_{2}P}}$ távolság is állandó marad.

Hasonló levezetéseket lehet végezni kúp olyan síkmetszetére, amely parabolát és hiperbolát vág ki a kúpból, illetve egyenes körhenger ferde síkmetszetére, amely szintén ellipszist eredményez.

A tétel következményei

Ha az ellipszist úgy definiáljuk (amint az gyakran történik), hogy az azoknak a $P\,$ pontoknak a halmaza, melyekre igaz, hogy ${\overline {F_{1}P}}+{\overline {F_{2}P}}=const$, az előbbi gondolatmenet bizonyítja, hogy a kúp síkmetszete valóban ellipszis. Ebből az is következik, hogy a kúp síkmetszete szimmetrikus az ${\overline {F_{1}F_{2}}}\,$ egyenesre.

A direktrix a Dandelin-gömbökkel

A Dandelin-gömbök segítségével a direktrixeket is meg lehet találni. Mindkét Dandelin-gömb egy kör mentén érinti a kúpot. A kör síkjának és a metszősíknak az áthatási vonala a direktrix. Ez ellipszisnél és hiperbolánál két direktrixet eredményez, parabolánál csak egyet.

További információk

• Ábrázológeometria kezdőknek
• Középiskolai matematikai és fizikai lapok
• Hop David Dandelin-gömb honlapja
• Dandelin-gömb -- Mathworld
• Math Academy Dandelin-gömb lapja
• Java applet JDandelin