Diszkrimináns

A diszkrimináns szó jelentése: előre megítélés, eldöntés, döntő tényező. A matematika területén magasabb fokú egyenletek megoldása során alkalmazzuk, ahol az adott egyenlet megoldóképletének szerves része maga, a diszkrimináns képlete. A diszkrimináns jele $D$.

A diszkrimináns a gyakorlatban az adott magasabb fokú egyenletek gyökeinek számát határozza meg, dönti el. Mivel az algebra alaptétele csak a maximálisan szóba hozható gyökök számát definiálja, a valós gyökök számát azonban nem, ezért is volt szükséges minden lineárisnál magasabb fokú egyenlet esetében a diszkrimináns felfedezésére.

Lineáris egyenletek

A diszkriminánst csak lineárisnál magasabb fokú egyenletekre nézve értelmezzük. Az egyismeretlenes lineáris egyenletek gyökeinek számát nagyon egyszerűen az ismeretlen algebrai kifejezésével érhetjük el: ennek függvényében három verzió lehetséges

• nincs gyöke (ellentmondás)
• maximum 1 valós gyöke van
• végtelen sok megoldása van (azonosság; lineáris ekvivalencia).

Másodfokú (kvadratikus) egyenletek

Tekintsük alapul a másodfokú egyenlet együtthatóit az általános jelölés alapján ax² + bx + c = 0 formájúnak!

Másodfokú egyenleteknek legfeljebb 2 gyöke lehet, minimum 0. Ennek értelmében 3 lehetséges kimenetele lehet egy másodfokú egyenlet megoldásának.

A gyökök mennyisége

Az egyenletnek

• 2 gyöke van
• 1 gyöke van
• nincs (valós) gyöke.

A gyökök jellege

Az egyenletnek

• csak valós gyökei vannak
• hibrid gyökei vannak (valós és komplex gyökök egyaránt)
• csak komplex gyökei vannak.

A másodfokú egyenlet diszkriminánsa

Bármely másodfokú egyenlet diszkriminánsát meghatározhatjuk a $D=b^{2}-4ac$ képlettel (a fenti jelölések alapján).

A diszkrimináns értékének értelmezése az alábbiak alapján történik:

• D > 0 : Az egyenletnek 2 valós gyöke van;
• D = 0 : Az egyenletnek 1 valós gyöke van;
• D < 0 : Az egyenletnek 2 komplex gyöke van.

Megjegyzések:

1. A fentiek alapján diszkrimináns értékének értelmezése a gyökök számának tekintetében csakis valós gyökökre vonatkozik.
2. A másodfokú egyenlet redukált alakjának diszkriminánsa: $D^{*}=\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q$.

Harmadfokú egyenletek

A harmadfokú egyenlet megoldóképlete megtekinthető itt.

Negyedfokú egyenlet

A negyedfokú egyenlet megoldóképlete megtekinthető itt.

Források

• Egyenletek a mathematika.hu-n
• Négyjegyű függvénytáblázatok (Dr. Hack Frigyes Ph.D.) ISBN 978-963-19-5703-7