Einstein-tenzor

A differenciálgeometriában az Einstein-tenzort (fordított Ricci-tenzornak is hívják) arra használják, hogy alkalmazásával kifejezzék a Riemann-sokaság görbültségét.^[1] Az általános relativitáselméletben az Einstein-tenzor az Einstein-féle gravitációs téregyenleteknél fordul elő, melyek az energiával kapcsolatos megfontolásokkal konzisztens módon írják le a téridő görbültségét.^[2]

Meghatározás

Az Einstein-tenzor ( $\mathbf {G}$ ) egy másodrendű tenzor a Riemann-sokaságban. Indexmentes kifejezéssel:

\mathbf {G} =\mathbf {R} -{\frac {1}{2}}\mathbf {g} R,

ahol $\mathbf {R}$ a Ricci-tenzor, $\mathbf {g}$ a metrikus tenzor és $R$ a skalár görbület. Komponens formában kifejezve az előző egyenlet:

G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R.

Az Einstein-tenzor szimmetrikus:

G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }\,

és az energia-impulzus tenzorhoz hasonlóan divergenciamentes

G^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0\,.

Explicit kifejezés

A Ricci-tenzor csak a metrikus tenzortól függ, így az Einstein-tenzort közvetlenül a metrikus tenzorral lehet definiálni. Azonban ez a kifejezés komplex, és ritkán használják. Ennek a kifejezésnek a komplexicitása jól látható, ha a Ricci-tenzort a Christoffel-szimbólumokkal fejezzük ki:

{\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }R\\&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }R_{\gamma \zeta }\\&=(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta })R_{\gamma \zeta }\\&=(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta })(\Gamma _{\gamma \zeta ,\epsilon }^{\epsilon }-\Gamma _{\gamma \epsilon ,\zeta }^{\epsilon }+\Gamma _{\epsilon \sigma }^{\epsilon }\Gamma _{\gamma \zeta }^{\sigma }-\Gamma _{\zeta \sigma }^{\epsilon }\Gamma _{\epsilon \gamma }^{\sigma }),\end{aligned}}

ahol $\delta _{\beta }^{\alpha }$ a Kronecker-tenzor és a Christoffel-szimbólum $\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }$ meghatározása:

\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \epsilon }(g_{\beta \epsilon ,\gamma }+g_{\gamma \epsilon ,\beta }-g_{\beta \gamma ,\epsilon }).

Egy lokális közeli pont speciális esetében, a metrikus tenzor első deriváltjai eltűnnek, és az Einstein-tenzor komponens formája jelentős mértékben egyszerűsödik:

{\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=g^{\gamma \mu }{\bigl [}g_{\gamma [\beta ,\mu ]\alpha }+g_{\alpha [\mu ,\beta ]\gamma }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\epsilon \sigma }(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }){\bigr ]}\\&=g^{\gamma \mu }(\delta _{\alpha }^{\epsilon }\delta _{\beta }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}g^{\epsilon \sigma }g_{\alpha \beta })(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }),\end{aligned}}

ahol a szögletes zárójel konvencionálisan az antiszimmetrikus tenzorra utal:

g_{\alpha [\beta ,\gamma ]\epsilon }\,={\frac {1}{2}}(g_{\alpha \beta ,\gamma \epsilon }-g_{\alpha \gamma ,\beta \epsilon }).

Nyom

Az Einstein-tenzor nyoma kiszámítható a metrikus tenzor ( $g^{\mu \nu }$ ) definíciója egyenletének összevonásával: $n$ dimenzióban:

{\begin{aligned}g^{\mu \nu }G_{\mu \nu }&=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }R\\G&=R-{1 \over 2}(nR)\\G&={{2-n} \over 2}R\end{aligned}}

A 4 dimenzió speciális esete adja a $G\,$ -t, az Einstein-tenzor nyoma, mint a negatív $R\,$ , a Ricci-tenzor nyoma.

Így az Einstein-tenzor másik neve a fordított nyomú Ricci-tenzor.

Felhasználása az általános relativitáselméletben

Az Einstein-tenzor lehetővé teszi, hogy az Einstein-egyenleteket (a csillagászati állandó nélkül) tömörebb formában lehessen kifejezni:

G_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }.

mely a geometria egységrendszerben:

G_{\mu \nu }=8\pi \,T_{\mu \nu }.

Az Einstein-tenzor explicit formáját tekintve az Einstein-tenzor a metrikus tenzor egy nemlineáris függvénye, a második parciális deriváltja lineáris. Mint egy szimmetrikus másodrendű tenzornak, az Einstein-tenzornak 10 független komponense van egy 4 dimenziós térben. Ebből következik, hogy az Einstein-egyenletek 10 kvázilineáris másodrendű parciális differenciálegyenletet jelentenek a metrikus tenzornak. A Bianchi-azonosságot szintén egyszerűen lehet kifejezni az Einstein-tenzor segítségével:

\nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0.

Irodalom

Ohanian, Hans C.; Remo Ruffini: Gravitation and Spacetime (Second edition ed.). (hely nélkül): W. W. Norton & Company. 1994. ISBN 0-393-96501-5
Martin, John Legat: Gravitation General Relativity: A First Course for Physicists. (hely nélkül): Prentice Hall International Series in Physics and Applied Physics (Revised edition ed.). Prentice Hall. 1995. ISBN 0-13-291196-5
Landau - Lifsic: Elméleti fizika II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1976
Novobátzky Károly: A relativitás elmélete. Tankönyvkiadó, Budapest, 1963
Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet. Akadémiai Kiadó. Budapest. 2006. ISBN 9630584239

Kapcsolódó szócikkek

Jegyzetek

↑ http://www.slideshare.net/nagygp/a-differencilgeometria-alapjai
↑ Einstein, Albert (1915. november 25.). „Die Feldgleichungen der Gravitation”. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 844–847. o. [2016. október 27-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2006. szeptember 12.)

[1] ttp://www.slideshare.net/nagygp/a-differencilgeometria-alapjai

[Ein1915-2] Einstein, Albert (1915. november 25.). „Die Feldgleichungen der Gravitation”. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 844–847. o. [2016. október 27-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2006. szeptember 12.)

[1]

[2]