Fresnel-integrál

A Fresnel-integrálok az $x\to C(x)$ és $x\to S(x)$ leképezésekkel adott transzcendens valós-valós függvények, ahol

$C(x)=\int \limits _{0}^{x}\cos(u^{2})\,du,\quad S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(u^{2})\,du.$

$C(x)$ illetve $S(x)$ az $y=\cos(x^{2})$ és az $y=\sin(x^{2})$ függvény területfüggvénye (x=0 kezdő abszcisszától).

Leírásuk

A Fresnel-integrálok nem írhatók fel elemi függvényekkel zárt analitikus alakban. A helyettesítési érték kiszámítására a következő, minden $x\in \mathbb {R}$ helyen konvergens hatványsorok alkalmasak:

$S(x)={\frac {x^{3}}{3\cdot 1!}}-{\frac {x^{7}}{7\cdot 3!}}+{\frac {x^{1}1}{11\cdot 5!}}\mp \dots +(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}},$

$C(x)={\frac {x}{1\cdot 0!}}-{\frac {x^{5}}{7\cdot 2!}}+{\frac {x^{9}}{9\cdot 4!}}\mp \dots +(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}.$

A függvények csökkenő amplitúdóval és hullámhosszal oszcillálnak a $+\infty$ -ben vett határértékük körül (nem periodikusak!):

$\int \limits _{0}^{\infty }\cos u^{2}\,du=\int \limits _{0}^{\infty }\sin u^{2}\,du={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.$

A függvénygörbék egy transzponált alakja az elméleti vizsgálatokban használt normalizált alak:

$S_{o}(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin({\frac {\pi u}{2}}^{2})\,du,\quad C_{o}(x)=\int \limits _{0}^{x}\cos({\frac {\pi u}{2}}^{2})\,du,$

melyek a $\lim _{x\to +\infty }C_{o}(x)=\lim _{x\to +\infty }S_{o}(x)={\frac {1}{2}}\,~~$ érték körül oszcillálnak.

Normalizált Fresnel-integrálok, So(x) és Co(x).

Alkalmazása

A függvényeket Augustin-Jean Fresnel (1788-1827) francia fizikus alkalmazta a fényinterferencia vizsgálatok matematikai elemzésénél. E vizsgálatok a fénynek Christiaan Huygens (1629-1695) holland fizikus által kidolgozott hullámtermészetét igazolták. Vele egy időben és tőle függetlenül hasonló sikeres kísérleteket végzett Thomas Young (1773-1829) angol orvos.

Az út-/vasútépítésben fontos átmeneti ív, a klotoid (Cornu-spirál, Euler-spirál) paraméteres egyenletrendszerét a két Fresnel-integrál megfelelő transzformációjával lehet megadni:

${\begin{cases}x(t)=k\cdot C(t)\\y(t)=k\cdot S(t)\end{cases}}$

Irodalom

• Reinhardt–Soeder: SH atlasz-Matematika (Springer-Verlag, 1993)
• Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei (Közoktatásügyi Kiadóvállalat, 1951)
• Bronstein–Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091
• Pattantyús: Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.