Gábriel harsonája

Gábriel harsonája egy végtelen felszínű, de véges térfogatú test, amelyet Evangelista Torricelli olasz matematikus fedezett fel.

Matematikai jellemzők

A test az $y={\frac {1}{x}}$ görbe $x\geq 1$ részének háromdimenziós, x tengely körüli elforgatásával keletkezik. A kürt felszínének és térfogatának 1 és $a\geq 1$ közé eső része integrálszámítás segítségével (lásd improprius integrál) kiszámítható:

Felszín

A felszín 1 és $a$ között:

A_{a}=2\pi \int \limits _{1}^{a}{\frac {\sqrt {1+{\frac {1}{x^{4}}}}}{x}}\mathrm {d} x>2\pi \int \limits _{1}^{a}{\frac {\sqrt {1}}{x}}\ \mathrm {d} x=2\pi \ln a

$a$ tetszőlegesen nagy lehet, így:

A=\lim _{a\to \infty }A_{a}=\lim _{a\to \infty }2\pi \ln a=\infty

Térfogat

Résztérfogat:

V_{a}=\pi \int \limits _{1}^{a}{1 \over x^{2}}\mathrm {d} x=\pi \left(1-{1 \over a}\right)

$a\to \infty$ :

V=\lim _{a\to \infty }V_{a}=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-{1 \over a}\right)=\pi

azaz végtelenbe tartva a térfogat $\pi$ -hez konvergál, viszont a felszínre nincs felső korlát.

Felfedezésekor paradoxonnak tartották, hogy egy végtelen területet az x tengely körül forgatva véges térfogat kapható.

Festési paradoxon

Intuíciónk számára úgy fordítható ez le egyszerűen a paradoxon, hogy a harsona megtölthető véges mennyiségű festékkel, ugyanakkor a lefestéséhez végtelen mennyiségre lenne szükség, ami azért meglepő, hiszen a megtöltés során gyakorlatilag lefestettük. A paradoxon feloldása az, hogy a két esetben a festék más minőségű: a feltöltéshez 3 dimenziós festéket használtunk, viszont a felszín lefestését 2 dimenziós festékkel végeznénk el.

Magyarázat

Amikor a görbét x tengely körül elforgatva térfogatot és felszínt számolunk, az olyan mintha a keresztmetszeti körök területét és kerületét összegeznénk, a területekből a térfogat, a kerületekből a felszín adódik.