Generátorhalmaz

Az absztrakt algebrában egy G csoport S részhalmaza generátorhalmaz, ha G minden eleme előáll S elemeinek és azok inverzeinek véges szorzataként.

Egy G csoport S részhalmaza által generált részcsoportot, tehát azt a legkisebb csoportot, amely tartalmazza az S halmazt, így jelöljük: $\langle S\rangle$. Ez a legkisebb csoport egyértelműen létezik az S halmazt tartalmazó részcsoportok metszeteként. Az $\langle S\rangle$ részcsoport pontosan azokat az elemeket tartalmazza, amelyek előállnak S elemeinek és azok inverzeinek véges szorzataként.

Ha $G=\langle S\rangle$, akkor S generátorhalmaza a G csoportnak, más szóval S generálja G-t. Az S halmaz elemeit nevezik generátoroknak is. Ha S az üres halmaz, akkor $\langle S\rangle =\{e\}$ az egységelemet tartalmazó csoport, mert az üres szorzat definíció szerint az egységelem.

Ha S csak egyetlen x elemet tartalmaz, akkor használható a $\langle x\rangle$ jelölés is a generált csoportra, ami nem más, mint x hatványainak halmaza, tehát az x elem által generált ciklikus csoport. Ha $\langle x\rangle =G$, akkor azt mondjuk, hogy x generálja a csoportot. Egy x elem pontosan akkor generálja a csoportot, ha x rendje |G|.

Végesen generált csoport

Ha S véges, akkor G=<S> végesen generált csoport. Sok tétel van, ami végesen generált csoportokra igaz, de általában csoportokra nem áll fenn.

Minden véges csoport végesen generálható, hiszen G=<G>. Például az egész számok halmaza az összeadás műveletre nézve végesen generálható például a <-1> vagy a <1> konstrukciókkal. Ha $m,n\in \mathbb {Z}$ egészek relatív prímek, azaz lnko(m, n)=1, akkor az {m, n} halmaz is generálja az egész számok halmazát. Viszont a racionális számok halmaza az összeadás műveletére nézve nem generálható végesen.

Szabadon generált csoport

Az S halmaz által generált legnagyobb csoport az S által generált szabad csoport. Minden S által generált csoport izomorf ennek egy faktorcsoportjával. Ez a csoportok reprezentációjának egy alapvető eredménye.

Frattini-részcsoport

Egy érdekes rokon terület a nemgenerátorok elmélete. Valamely x elemet nemgenerátornak hívunk, ha minden x-et tartalmazó S generátorhalmaz az x elem nélkül is generálja a csoportot. Az összes nemgenerátor halmaza is G egy részcsoportját alkotja. Ezt a részcsoportot nevezik Frattini-részcsoportnak.

Példák

Az U(Z₉) csoport a 9-hez relatív prím egészek multiplikatív csoportja mod 9 (U₉ = {1, 2, 4, 5, 7, 8}). Ebben a csoportban modulo 9 kell számolni. A 7 nem generálja ezt a csoportot, mivel

$\{7^{i}{\pmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{7,4,1\}.$

de 2 igen, mert:

$\{2^{i}{\pmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{2,4,8,7,5,1\}.$

Másrészt n > 2 -re az n-edfokú szimmetrikus csoport nem ciklikus, nem generálható egy elemmel. De generálható két permutációval: (1 2)-vel, és (1 2 3 ... n)-nel. Például az S₃ harmadrendű szimmetrikus csoport:

e = (1 2)(1 2)

(1 2) = (1 2)

(1 3) = (1 2)(1 2 3)

(2 3) = (1 2 3)(1 2)

(1 2 3) = (1 2 3)

(1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2)

Vannak végesen generálható végtelen csoportok is. Ilyen például az egész számok additív csoportja. A 2 elem önmagában nem generálja, mivel a páratlan számok kimaradnak. A {3, 5} kételemű halmaz generálja, mivel (−5) + 3 + 3 = 1. Sőt, minden relatív prím pár generátorhalmaza az egész számok csoportjának.

Lásd még

• Cayley-gráf

Források

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, MR1878556, ISBN 978-0-387-95385-4
• A MathWorld-ön