Giuga-számok
A számelmélet területén a Giuga-számok olyan összetett n számok, melyek különböző pi prímtényezőire mind igaz, hogy , vagy ami ezzel ekvivalens, minden különböző pi prímtényezőre .
A Giuga-számokat a kevéssé ismert Giuseppe Giuga olasz matematikusról nevezték el, a prímszámokkal kapcsolatos Agoh–Giuga-sejtéshez kapcsolódnak.
Definíciók
szerkesztésA Giuga-számok Takashi Agoh által megadott alternatív definíciója szerint egy n összetett szám akkor és csak akkor Giuga-szám, ha a
kongruencia teljesül, ahol B egy Bernoulli-szám, pedig az Euler-függvény.
Giuseppe Giuga a fentivel ekvivalens megfogalmazása szerint: egy n összetett szám akkor és csak akkor Giuga-szám, ha a
kongruencia teljesül, továbbá teljesül, hogy
Az eddig ismert n Giuga-számok valójában a következő erősebb feltételt is kielégítik:
Példák
szerkesztésA Giuga-számok sorozata így kezdődik:
Például a 30 Giuga-szám, mivel prímtényezői 2, 3 és 5, melyekre igazak a következők:
- 30/2 − 1 = 14, ami osztható 2-vel,
- 30/3 − 1 = 9, ami osztható 3-mal és
- 30/5 − 1 = 5, ami osztható 5-tel.
Tulajdonságai
szerkesztésA Giuga-számok prímtényezőinek különbözőknek kell lenniük. Ha osztója -nek, abból következik hogy , ahol az szám osztható -vel. Ezért nem lenne osztható -vel, így tehát nem Giuga-szám.
A fentiek szerint kizárólag négyzetmentes számok lehetnek Giuga-számok. Például a 60 prímtényezői 2, 2, 3 és 5, továbbá 60/2 − 1 = 29, ami nem osztható 2-vel. Ezért a 60 nem Giuga-szám.
A prímszámok négyzetei tehát ki vannak zárva, de a diszkrét félprímek sem lehetnek Giuga-számok. Mivel ha és pímszámok, akkor , tehát nem lesz osztója -nek, ezért nem Giuga-szám.
Az összes ismert Giuga-szám páros. Ha létezik páratlan Giuga-szám, legalább 14 prímszám szorzataként kell előállnia. Nem ismert, hogy létezik-e végtelen sok Giuga-szám.
Paolo P. Lava (2009) sejtése szerint a Giuga-számok az n' = n+1 differenciálegyenlet megoldásai, ahol n' megegyezik n aritmetikai deriváltjával. (Négyzetmentes számokra , , tehát n' = n+1 épp a fenti Definíciók szakasz utolsó egyenlete, n-nel megszorozva.)
José Mª Grau és Antonio Oller-Marcén megmutatták, hogy egy n egész akkor és csak akkor Giuga-szám, ha valamely a > 0-ra kielégíti az n' = a·n + 1 differenciálegyenletet, ahol n' megegyezik n aritmetikai deriváltjával. (Itt is igaz, hogy n' = n+1 épp a fenti Definíciók szakasz utolsó egyenlete, n-nel megszorozva.)
Kapcsolódó szócikkek
szerkesztésIrodalom
szerkesztés- Weisstein, Eric W.: Giuga Number (angol nyelven). Wolfram MathWorld
- (1996) „Giuga's Conjecture on Primality”. American Mathematical Monthly 103, 40–50. o. [2005. május 31-i dátummal az eredetiből archiválva]. DOI:10.2307/2975213. (Hozzáférés: 2005. május 31.)
- Centotre curiosità matematiche. Milan: Hoepli Editore, 129. o. (2010). ISBN 978-88-203-4556-3