Green–Tao-tétel
A Green–Tao-tétel Ben Green és Terence Tao nagy port felvert számelméleti eredménye.
A tétel szerint, ha A egy olyan prímszámokból álló halmaz, aminek relatív sűrűsége pozitív, azaz van olyan c pozitív valós szám, hogy végtelen sok x számra A x-ig legalább a prímszámok c-edrészét tartalmazza, akkor A-ban van tetszőlegesen hosszú számtani sorozat. Már az az állítás, hogy van tetszőlegesen hosszú, prímekből álló számtani sorozat, a számelmélet egy régi, nevezetes problémáját oldja meg.
Története
szerkesztésA számelmélet e nevezetes sejtése tulajdonképpen egyik matematikus nevéhez sem fűződik. Feltehetően már Joseph Louis Lagrange és Edward Waring felvetette 1770-ben, amikor azt vizsgálták, egy n hosszúságú, prímszámokból álló számtani sorozat differenciája mekkora lehet.
Vinogradov Goldbach-sejtéssel kapcsolatos nevezetes tételének módszerét alkalmazva igazolta Johannes van der Corput[1] és Theodor Estermann,[2] hogy végtelen sok, prímekből álló, háromtagú számtani sorozat létezik. A továbblépés már nagyon nehéz volt: csak 1981-ben igazolta[3] Roger Heath-Brown, hogy van végtelen sok négytagú számtani sorozat, amiben van három prímszám és a negyedik tagja legfeljebb két prímszám szorzata. Egy másik irányban Balog Antal 1992-ben bebizonyította[4] hogy minden k-ra van k prímszám, , hogy a átlagok ( ) különböző prímszámok. Ebből és abból, hogy minden , értékre van két ortogonális latin négyzet, már következik, hogy minden -ra van csupa különböző prímből álló -es bűvös négyzet.
Green és Tao 2004-ben igazolta nevezetes tételét[5] abban a sokkal erősebb formában, hogy minden olyan prímszámokból álló A halmaz tartalmaz tetszőleges hosszúságú számtani sorozatot, aminek pozitív a relatív sűrűsége, azaz ahol A(x) az a halmaz x-nél kisebb tagjainak száma, pedig a prímek száma x-ig.
A tételt 2006-ban Tao és Tamar Ziegler kiterjesztette polinomérték-különbségű sorozatokra. Azt bizonyították tehát, hogy ha egész együtthatós, 0 konstans taggal rendelkező polinomok, akkor van végtelen sok olyan egész számpár, hogy valamennyien prímek.
2007-ben Tao igazolta a Gauss-prímekre vonatkozó állítást: ha Gauss-egészek, akkor van pozitív egész szám és a Gauss-egész, hogy valamennyien Gauss-prímek.[6]
Green-Tao-tétel a művészetben
szerkesztésSin Oliver 2012-es Green-Tao Theorem with Endre Szemeredi című festménye a tétel egy vizuális absztrakciója.[7]
Hivatkozások
szerkesztés- ↑ J. G. van der Corput: Über Summen von Primzahlen und Primzahlquadraten. Math. Annalen, 116(1939), 1-50.
- ↑ T. Estermann: On Goldbach's problem: proof that almost all even positive integers are sums of two primes, Proc. London Math. Soc., 44(1938), 307-314.
- ↑ D. R. Heath-Brown: Three primes and an almost prime in arithmetic progression, J. London Math. Soc., 23(1981) 396-414.
- ↑ A. Balog: Linear equations in primes, Mathematika, 39(1992), 367-378.
- ↑ B. Green, T. Tao: The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, [1] Archiválva 2017. július 10-i dátummal a Wayback Machine-ben
- ↑ T. Tao: The Gaussian primes contain arbitrarily shaped constellations Archiválva 2007. augusztus 12-i dátummal a Wayback Machine-ben, J. d’Analyse Mathematique, 99(2006), 109-176.
- ↑ (2024. április 26.) „Oliver Sin, Interview”.