Tetraéderszámok

A számelméletben a tetraéderszámok vagy háromszögű piramisszámok olyan poliéderszámok, illetve figurális számok, melyek a sűrűn pakolt gömbökből összeálló tetraéderekben részt vevő gömbök számát reprezentálják. Az n-edik tetraéderszám, $T_{n}$, ami az első n háromszögszám összege a következő képlettel állítható elő:

Az 5 gömb oldalhosszúságú piramis 35 gömböt tartalmaz. A rétegek sorban az első öt háromszögszámot jelképezik.

$T_{n}={n(n+1)(n+2) \over 6}={n^{\overline {3}} \over 3!}$

A tetraéderszámok egyben a következő alakú binomiális együtthatók:

$T_{n}={n+2 \choose 3}.$

Ezért a tetraéderszámok a Pascal-háromszög bal vagy jobb oldalról vett negyedik pozíciójában lévő számok.

A tetraéderszámok generátorfüggvénye:

${\frac {z}{(z-1)^{4}}}=1z+4z^{2}+10z^{3}+20z^{4}+\ldots$

Az első néhány tetraéderszám:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, 1540, 1771, 2024, 2300, 2600, 2925, 3276, 3654, 4060, 4495, 4960, 5456, 5984, 6545, 7140, 7770, 8436, 9139, 9880, 10660, 11480, 12341, 13244, 14190, 15180… (A000292 sorozat az OEIS-ben).

Kapcsolat más figurális számokkal

Ha $O_{n}$ az n-edik oktaéderszám és $T_{n}$ az n-edik tetraéderszám, akkor

$O_{n}+4T_{n-1}=T_{2n-1}.$

Ez azt a matematikai tényt fejezi ki, hogy egy oktaéder négy, nem egymás melletti lapjához tetraédert ragasztva kétszeres méretű tetraédert kapunk. Egy másik lehetőség, hogy egy oktaéder felosztható négy tetraéderre oly módon, hogy mindegyiknek két összeérő lapja van:

$O_{n}=T_{n}+2T_{n-1}+T_{n-2}.$

Minden harmadik tetraéderszám egyben dodekaéderszám.

Tulajdonságaik

• T_n + T_n−1 = 1² + 2² + 3² ... + n²
• A. J. Meyl 1878-ban bizonyította, hogy csak három olyan tetraéderszám létezik, ami egyben négyzetszám is, ezek:

  T₁ = 1² = 1

  T₂ = 2² = 4

  T₄₈ = 140² = 19600.

• Sir Frederick Pollock 1850-es sejtése szerint bármely szám felírható legfeljebb 5 tetraéderszám összegeként.
• Az egyetlen tetraéderszám, ami egyben négyzetes piramisszám az 1 (Beukers, 1988), ugyanígy az egyetlen tetraéderszám, ami egyben köbszám az 1.
• A tetraéderszámok reciprokainak végtelen összege 3/2, ami a következő teleszkopikus összegből jön ki:

  $\!\ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}.$

• A tetraéderszámok paritása a következő minta szerint váltakozik: páratlan-páros-páros-páros.

  T₅ = T₄ + T₃ + T₂ + T₁

• Egy szám akkor lehet egyszerre tetraéderszám és háromszögszám, ha megfelel a binomiális együtthatókból származó egyenletnek:

  $Tr_{n}={n+1 \choose 2}={m+2 \choose 3}=Te_{m}.$

• Az egyetlen ilyen tulajdonságú számok a következők (A027568 sorozat az OEIS-ben):

  Te₁ = Tr₁ = 1

  Te₃ = Tr₄ = 10

  Te₈ = Tr₁₅ = 120

  Te₂₀ = Tr₅₅ = 1540

  Te₃₄ = Tr₁₁₉ = 7140

Kapcsolódó szócikkek

• Háromszögszámok
• Középpontos háromszögszámok

További információk

• Weisstein, Eric W.: Tetrahedral Number (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.
• On the relation between double summations and tetrahedral numbers Archiválva 2016. március 6-i dátummal a Wayback Machine-ben by Marco Ripà