Hamilton-út

A Hamilton-út a gráfelmélet egy fogalma, nevét William Rowan Hamilton ír matematikus, fizikus és csillagászról kapta. Akkor nevezünk egy utat Hamilton-útnak, ha az a gráf minden csúcsán pontosan egyszer halad át. Irányított és irányítatlan gráfokban egyaránt értelmezhető az út, így a Hamilton-út fogalma is. Ha van Hamilton-kör, akkor van Hamilton-út is, de ez megfordítva már nem igaz.

Egy kellően bonyolult gráfban nehéz megtalálni a Hamilton-utat. A feladat az utazóügynök-probléma speciális esete, és mint ilyen, NP-teljes.

Definíció

Egy $P$ út egy $G=(V,E)$ gráfban Hamilton-út, ha $P$ a $V$ összes elemét pontosan egyszer tartalmazza.

Megjegyzések

A Hamilton-út a gráf csúcsait, míg az Euler-út az éleit járja be.
Nem minden gráfban van Hamilton-út.
Hamilton-kör tetszőleges élét elhagyva Hamilton-úthoz jutunk.
Vannak olyan gráfok, amik nem tartalmaznak Hamilton-kört, de Hamilton-utat igen. Ilyen például a Petersen-gráf és a kétcsúcsú teljes gráf is.

Példák

Minden teljes gráfban van Hamilton-út.
Minden hiperkocka gráfban van Hamilton-út.
Minden szabályos test gráfja és élgráfja tartalmaz Hamilton-utat.
Azonos számosságú pontosztályú teljes páros gráfok tartalmaznak Hamilton-utat.
Az Euler-gráfok élgráfjai tartalmaznak Hamilton-kört, így Hamilton-utat is.
A Hamilton-kört tartalmazó gráfok élgráfjaiban van Hamilton-kör.

Tulajdonságok

A következőkben G jelöli a gráfot és n a csúcsainak számát.

Gabriel Andrew Dirac (1952): Minden olyan gráfban van Hamilton-kör, amiben a minimális fokszám legalább ${\frac {n}{2}}$ .
William T. Tutte (1956): Minden 4-összefüggő síkgráfban van Hamilton-kör.
Øystein Ore (1960) általánosította Dirac tételét: Ha egy gráfban bármely két nem szomszédos csúcs fokszámának összege legalább $n\!$ , akkor a gráfban van Hamilton-kör.
Øystein Ore (1960): Ha az $x,y\!$ nem szomszédos csúcsok foka összesen legalább $n\!$ , akkor $G+\{x,y\}\!$ akkor és csak akkor tartalmaz Hamilton-kört, ha G is tartalmaz.
Pósa Lajos (1962) tovább általánosította a korábbi eredményeket: Ha minden $p\!$ , $1\leq p<{\frac {n-1}{2}}$ -re a $\leq p$ fokú csúcsok száma kevesebb, mint $p\!$ , és ha n páratlan, akkor még a $\leq {\frac {n-1}{2}}$ fokú csúcsok száma is legfeljebb ${\frac {n-1}{2}}$ , akkor a gráf tartalmaz Hamilton-kört.
Vašek Chvátal (1972): Az $(a_{1},...,a_{n})\!$ n-es, amire $a_{1}\leq ...\leq a_{n}<n$ , akkor és csak akkor egy Hamilton-kört tartalmazó gráf fokszámainak sorozata, ha minden $i<{\frac {n}{2}}$ -re teljesül: $a_{i}\leq i\Rightarrow a_{n-i}\geq n-i$ .
V. Chvátal és Erdős Pál (1972): Ha $G\!$ k-összefüggő, és G-ben minden maximális független ponthalmaz mérete $\leq k$ , akkor G-ben van Hamilton-kör.
Herbert Fleischner (1974): Ha G 2-összefüggő, akkor $G^{2}\!$ -ben van Hamilton-kör.