Hardy-egyenlőtlenség

A Hardy-egyenlőtlenség diszkrét formája azt mondja ki, hogy ha $a_{1},a_{2},\dots$ nemnegatív valósokból álló sorozat és $p>1$, akkor

$\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {S_{n}}{n}}\right)^{p}\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}$

teljesül, ahol $S_{n}=a_{1}+\cdots +a_{n}$. A szereplő $\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}$konstans pontos.

Összefoglalva, nagyjából arról van szó, hogy egy sorozat hatványösszege (1-nél nagyobb valós kitevő esetén) mindig legalább akkora, mint a sorozat átlagainak hatványösszegének egy konstansszorosa (mely konstans csak a kitevőtől függ).

A Hardy-egyenlőtlenség folytonos, integrálos változata:

$\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\operatorname {d} x\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx.$

minden olyan f(x) integrálható függvényre, ami sehol sem negatív, és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha f(x) = 0 majdnem mindenütt.

Az egyenlőtlenség először 1920-ban jelent meg Hardy jegyzetében, bizonyítás nélkül. Az eredeti megfogalmazás az integrálos egyenlőtlenség egy másik alakja volt. Az egyenlőtlenség bizonyítható a Hardy-Littlewood maximálfüggvénnyel és a maximálfüggvények elméletének felhasználásával.

Magasabb dimenzióban az egyenlőtlenség szintén teljesül, de ott a konstans szorzó p-n kívül a tartománytól is függ. Konvex tartományokra például vehető 1/4-nek, de vannak sima tartományok, amikre ez a szám kisebb. Sőt, vannak tartományok, amikre ez a szorzó nem pozitív. A tételnek van súlyozott, és nem korlátos tartományra általánosított változata is.

Az egyenlőtlenséget alkalmazzák a Markov-folyamatok, és az L^p-terek elméletében.

Források

• Hardy, G. H., Littlewood, J. E.; Pólya, G.. Inequalities, 2., Cambridge University Press (1952). ISBN 0521358809 
• Kufner, Alois, Persson, Lars-Erik. Weighted inequalities of Hardy type. World Scientific Publishing (2003). ISBN 9812381953 
• https://web.archive.org/web/20100307034242/http://math.tkk.fi/~jkkinnun/mazyapaper.pdf
• http://www.tmna.ncu.pl/files/v17n2-04.pdf
• http://math.ucsd.edu/~pfitz/downloads/hardy.pdf
• http://www.math.kth.se/~laptev/Research/Papers/hhl.pdf
• https://web.archive.org/web/20100403184758/http://www.mat.ub.es/%7Esoria/Bucharest.pdf
• http://www.cmap.polytechnique.fr/preprint/repository/635.pdf
• http://www.emis.de/journals/JIPAM/images/310_05_JIPAM/310_05.pdf

További információk

• http://emis.dsd.sztaki.hu/proceedings/Paseky95/kufner.ps.gz
• A Hajłasz-féle bizonyítás