Implikáció

Az implikáció, kondicionális vagy szubjunkció logikai művelet, használjuk a matematikai logikában, informatikában. Két állítást kapcsol össze, és jelentése a ha, akkor nyelvi kifejezéshez áll közel. Példa: Ha esik az eső, akkor az út vizes. Az implikáció a logikában nem fordítható meg, visszafelé a következtetés nem érvényes. Így például nem lehet arra következtetni az előző állításból, hogy ha vizes az utca, akkor esik az eső. A nyelvben a Ha, akkor szavakkal összekapcsolt mondatoknak gyakran más logikai művelet felel meg, ahol a következtetés visszafelé is érvényes: az ekvivalencia, más néven bikondicionális. A két művelet közötti különbségről hosszabban a bikondicionális cikkünkben írunk.

Különbséget kell tenni a logikai és a metanyelvi implikáció között. A metanyelvi implikáció két állításról tesz kijelentést, Például: Az „Esik az eső.” állítás implikálja a „Vizes az utca.” állítást. A kettő közötti kapcsolat az, hogy az egyik akkor és csak akkor igaz, hogyha a másik is. Az implikáció feltétlenül nem jelent oksági kapcsolatot, anélkül is fennállhat.

Félreértésekhez vezet, hogy a hamis előtag implikál bármilyen utótagot. Így például a „Ha $2\cdot 2=5$ , akkor az ember halhatatlan.” mondat igaz, de mindkét tagja hamis. Az implikáció igaz voltából nem lehet következtetni az utótag igaz voltára. Ez a materiális implikáció paradoxona.

Jelölése

Az implikációt jelölheti → nyíl, $\Rightarrow$ kettős nyíl, vagy $\supset$ patkó. Lengyelformában C a jele. Ha a nyíl, illetve patkó iránya fordított, akkor az utótag implikálja az előtagot. Gottlob Frege a klasszikus logika első formalizációjával az implikációt jellel fejezte ki fogalomírásában.

Igazságtáblája

Ha p és q ítéletek, melyek lehetséges értékei 0 (hamis) vagy 1 (igaz), akkor az implikáció műveletét, melynek jele a →, a következő művelettábla szerint értelmezzük:

p	q	p→q
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

ahol 1 az igaz, 0 a hamis jele.^[1] Már Megarai Philon is így értelmezte a műveletet.

A fentiek szerint hamis állításból következhet hamis, hamisból következhet igaz (reductio ad absurdum módszere), igazból nem következhet hamis, igazból következhet igaz állítás.^[2] Ez tulajdonképpen a „Ha…, akkor…” kijelentésnek felel meg. Példa: Ha húsz fok van odakint, akkor nem veszek kabátot.

Tulajdonságai

Az implikáció:

disztributív önmagára: $(s\rightarrow (p\rightarrow q))\rightarrow ((s\rightarrow p)\rightarrow (s\rightarrow q))$
tranzitív: $((a\rightarrow b)\rightarrow (b\rightarrow c))\rightarrow (a\rightarrow c)$
reflexív: $a\rightarrow a$
Teljesül a totalitás is: $(a\rightarrow b)\vee (b\rightarrow a)$
igazőrző, azaz abban az interpretációban, ahol az operandusok mindegyike igaz, az implikáció is igaz
az előfeltételek felcserélhetősége:

$(a\rightarrow (b\rightarrow c))\equiv (b\rightarrow (a\rightarrow c))$

A $p\rightarrow q$ formula ekvivalens $\lnot p\lor q$ -val, és a De Morgan-szabály alapján $\lnot (p\land \lnot q)$ -val (inferencia).^[3] A minimális logikában azonban az implikáció csak logikailag következik a $\lnot p\lor q$ képletből. Az intuicionista logikában az implikációból következik $\lnot p\lor q$ .

Jegyezzük meg, hogy $a\rightarrow (b\rightarrow c)$ logikailag ekvivalens $(a\land b)\rightarrow c$ -vel. Ezt curryzésnek nevezik, emiatt kényelmes jobbra zárójelező írásmódot bevezetni az implikációra: $a\rightarrow b\rightarrow c$ azt jelenti, hogy $a\rightarrow (b\rightarrow c)$ .

Az $A\rightarrow B$ implikáció kifejezhető úgy is, mint $\neg A\lor B$ . A $\neg (A\rightarrow B)$ tagadás megfelel $A\land \neg B$ -nek.

A dialogikus logikában

A dialogikus logikában az implikációt a következő szabályok definiálják:

Implikáció	Támadás	Védekezés
$A\rightarrow B$	$A?$	$B$

A dialogikus logikában a támadó kétségbe vonja az előtagot. Ekkor a védőnek először az előtagot, majd az utótagot kell bizonyítania. Például ha az állítja: Ha a benzinárak nőnek, akkor csökken az autóforgalom, akkor a támadó kétségbe vonhatja, hogy a benzinárak tényleg nőnek, azért ezt kell először bizonyítania. Keretrendszertől függ, hogy az implikációs kapcsolatot, vagy az utótagot az előtagtól függetlenül kell-e igazolnia.

Formális összekötőként

Formális összekötőként a következő szabályok alkalmazhatók rá:^[1]

modus ponens
kondicionális bizonyítás
klasszikus kontrapozíció
klasszikus reductio ad absurdum

A logikai összekötőként való megközelítés lehetővé teszi a szerkezetileg azonos propozíciós formák vizsgálatát különböző logikai rendszerekben, melyekben különböző tulajdonságok mutathatók ki. Például az intuicionista logika nem fogadja el a kontrapozíciót, így $(p \to q) \Rightarrow \neg p \lor q$ nem propozíciós tétel, viszont az implikációval definiálja a tagadást.

A formális logikában

A formális logikában megkülönböztetik a $\models$ szemantikus következmény relációtól. Azt mondjuk, hogy $A\models B$ , hogyha minden interpretációban, ahol A igaz, B is igaz. Azonban a legtöbb logika, köztük a klasszikus logika szerint a kettő kapcsolatban áll egymással:

Ha $\Gamma \models \psi$ , akkor $\varnothing \models (\varphi _{1}\land \dots \land \varphi _{n}\rightarrow \psi )$ valamely $\varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}\in \Gamma$ esetén. Szavakkal, ha Γ modellezi ψ-t, akkor ψ levezethető a Γ állításainak egy részéből.
Ugyanez teljesül megfordítva is.
Mindkét reláció monoton, azaz, ha $\Gamma \models \psi$ , akkor $\Delta \cup \Gamma \models \psi$ , és ha $\varphi \rightarrow \psi$ , akkor $(\varphi \land \alpha )\rightarrow \psi$ valamely

α, Δ esetén. Erre gyakran gyengítésként hivatkoznak.

Mindezek a kapcsolatok nem állnak fenn minden logikában, így például a nem monoton logikákban, illetve a relevancialogikákban.

A természetes nyelvben

A természetes nyelvben:

Nem lehet az, hogy ha P igaz, akkor Q nem igaz.
Nincs P Q nélkül. Ahol a következmény hiányáról van szó.

Források

Rüdiger Inhetveen: Logik. Eine dialog-orientierte Einführung. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2003, ISBN 3-937219-02-1.
Wilhelm Kamlah, Paul Lorenzen: Logische Propädeutik. Vorschule des vernünftigen Redens. Metzler, Stuttgart 1996, ISBN 3-476-01371-5.
Kuno Lorenz, Paul Lorenzen: Dialogische Logik. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-06707-X.
Paul Lorenzen: Lehrbuch der konstruktiven Wissenschaftstheorie. Metzler, Stuttgart 2000, ISBN 3-476-01784-2.

Jegyzetek

↑ ^a ^b Clarke, Matthew C.: A Comparison of Techniques for Introducing Material Implication. Cornell University, 1996. március 1. (Hozzáférés: 2012. március 4.)
↑ Magnus, P.D: forallx: An Introduction to Formal Logic. Creative Commons, 2012. január 6. (Hozzáférés: 2013. május 28.)
↑ Teller, Paul: A Modern Formal Logic Primer: Sentence Logic Volume 1. Prentice Hall, 1989. január 10. [2013. szeptember 27-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2013. május 28.)

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Subjunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Ez a szócikk részben vagy egészben a Material conditional című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Ez a logikával kapcsolatos lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!

[Clarke,_Matthew_C-1] Clarke, Matthew C.: A Comparison of Techniques for Introducing Material Implication. Cornell University, 1996. március 1. (Hozzáférés: 2012. március 4.)

[2] Magnus, P.D: forallx: An Introduction to Formal Logic. Creative Commons, 2012. január 6. (Hozzáférés: 2013. május 28.)

[3] Teller, Paul: A Modern Formal Logic Primer: Sentence Logic Volume 1. Prentice Hall, 1989. január 10. [2013. szeptember 27-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2013. május 28.)

[1]

[2]

[3]