Intervallum

Az intervallum latin szó, eredetileg közt, közbeeső helyet vagy bármely más közbeeső térbeli vagy időbeli dolgot jelöl. A zenében például intervallum a hangköz.

Fogalma a matematikában

A matematikában az intervallum azoknak a számoknak a halmaza, amik két adott szám közé esnek. Megkülönböztetünk zárt és nyílt intervallumokat aszerint, hogy a határoló számok beletartoznak (zárt) vagy sem (nyílt).

Elemi matematika

Az elemi matematikában az intervallum a valós számok egy „összefüggő” részhalmaza.

Formálisan:

• zárt intervallum: $[a,b]=\{x|a\leq x\leq b\}\,$
• nyílt intervallum: $]a,b[=\{x|a<x<b\}\,$

Tehát a nyílt intervallum nem tartalmazza az a és b számokat, a zárt pedig tartalmazza.

Hasonlóan lehet értelmezni az egyik oldalról nyílt, másik oldalról zárt intervallumokat. Például $[a,b[=\{x|a\leq x<b\}$ egy balról zárt, jobbról nyílt intervallum.

Szokás csak egy oldalról korlátos intervallumokról beszélni, és ezeket a végtelenig tartó nyílt intervallumként jelölni: $]a,\infty [=\{x|a<x\}$; $]-\infty ,b]=\{x|x<=b\}$.

A nyílt intervallum régebben szokásos jelölése az $(a,b)$. Hasonlóan a félig zárt, félig nyílt intervallum $[a,b)$-vel jelölhető.

Az $[a,a]=\{a\}$ intervallumot néha degenerált intervallumnak nevezik. Az üres halmaz is intervallum.

Topológia

A topológiában az intervallumok éppen a valós számok összefüggő részhalmazai. A zárt intervallumok zárt halmazok, a nyílt intervallumok nyílt halmazok. A félig nyílt, félig zárt intervallum általában se nem nyílt, se nem zárt halmaz, de a $\infty )$ oldal egyszerre teljesíti a nyílt és a zárt halmazok kritériumait is , így például $[a,\infty )$ zárt halmaz.

Halmazelmélet

A fenti definíciók természetes módon kiterjeszthetőek tetszőleges részbenrendezett halmazra.

Intervallum-aritmetika

Az intervallumok egyik gyakorlati alkalmazása a kerekítési hibák kezelése, ahol pontos értékeket helyett a lehetséges értékek intervallumaival számolunk. Ahogy a kerekítési hibák a műveletek során nőnek, úgy lesznek egyre nagyobbak az intervallumok is.

Az intervallum-aritmetika műveletei a hagyományos műveletek kiterjesztései: ha $\oplus$ egy folytonos bináris művelet a valós számokon, akkor tetszőleges T és S korlátos intervallumhoz a $\oplus$ intervallumművelet a következő intervallumot rendeli:

$T\oplus S:=\{t\oplus s|t\in T,s\in S\}$

(amely lényegében a $\oplus$ művelet által definiált komplexusművelet). Az alapműveletekre felírva ezt a definíciót a következő intervallumokat kapjuk:

• [a,b] + [c,d] = [a+c, b+d]
• [a,b] – [c,d] = [a-d, b-c]
• [a,b] * [c,d] = [min (ac, ad, bc, bd), max (ac, ad, bc, bd)]
• [a,b] / [c,d] = [min (a/c, a/d, b/c, b/d), max (a/c, a/d, b/c, b/d)] (A 0-t tartalmazó intervallummal való osztás nem értelmezett.)

Az összeadás és a szorzás asszociatív és kommutatív, de nem disztributív, hanem szubdisztributív (annak megfelelően, hogy a kerekítési hiba nem független a műveletek sorrendjétől): Az X(Y+Z) halmaz részhalmaza az XY+XZ halmaznak.

Az intervallum-aritmetikában a relációk definiálása a következő nehézségekbe ütközik. Ha a T és S intervallumokra T < S azt jelenti, hogy T minden eleme kisebb S minden eleménél, és a T ≥ S azt jelenti, hogy T minden eleme nagyobb vagy egyenlő S minden eleménél, akkor a T $\not <$ S reláció nem ugyanakkor állna fenn, mint T ≥ S (holott ez egyedi valós számokra teljesül). Célszerű ezért az intervallumok közötti relációkat csak bizonyos intervallumpárokra definiálni (vagy a többire határozatlannak minősíteni). Ha Int az intervallumok halmaza, akkor a (bármely pár esetén értelmezett) R reláció a háromértékű logika szemléletéhez hasonló Int × Int $\rightarrow$ {0,1,2} hozzárendelés, ahol a 2 érték a „határozatlan” vagy érték. Ennek megfelelően, ha R tetszőleges, a valós számokon értelmezett reláció, akkor bármely T és S intervallumra T R S:

• igaz, ha tRs igaz minden T-beli t-re és S-beli s-re,
• hamis, ha tRs hamis minden ilyen t-re és s-re,
• határozatlan, máskülönben.