Kihajlás

A kihajlás az a mechanikai jelenség, amely keresztmetszetéhez képest hosszú egyenes rúd tengelyébe eső, megfelelően nagy nyomóerő hatására bekövetkezik.

Ha a nyomóerő kicsi, a rúd kissé összenyomódik, de egyenes marad. Ha a nyomóerőt növeljük, akkor egy bizonyos kritikus értéknél a rúd elgörbül, kihajlik és eltörik. Azt az erőt, amelynél a rúd eltörik, kritikus törőerőnek nevezik. Kis nyomóerő esetén a nyomott rúd stabil egyensúlyi helyzetben van, mivel ha a rúdra merőleges kis erővel terheljük, a rúd meggörbül, de a merőleges erő megszüntetésével visszatér eredeti helyzetébe. A törőerő elérésekor a kis oldalirányú erő okozta alakváltozás az erő megszüntetése után is megmarad. Ekkor a rúd közömbös (indifferens) egyensúlyi helyzetben van. Ha a rúd terhelése a kritikus törőerőnél nagyobb, a kitérés addig fokozódik, amíg a rúd eltörik, vagyis a rúd állapota instabil.

Euler képlete

Kihajló rúd

Leonhard Euler 1757-ben a meghatározta a kritikus törőerő nagyságát arra az esetre, ha a törőerő által okozott nyomófeszültség kisebb, mint a rúd anyagának folyáshatára, más szóval, ha rugalmas kihajlás esete forog fenn. Ebben az esetben felírható a rugalmas szál differenciálegyenlete:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {M}{IE}}$,

ahol az x tengelyt a rúd tengelyében vesszük fel, origójával a rúd egyik csuklós végpontjában (ahol a csukló miatt nyomaték nem ébredhet), az y tengely erre merőleges, M a rúd egy tetszőleges pontját terhelő hajlító nyomaték, I a rúd keresztmetszetének legkisebb másodrendű nyomatéka, E pedig a rúd anyagának rugalmassági modulusa. Az M hajlítónyomaték az F_t törőerő és az y kitérés szorzata:

$M=F_{t}y\,$.

Végül, ha bevezetjük az

$\alpha ^{2}={\frac {F_{t}}{IE}}$

jelölést, a differenciálegyenlet ilyen alakú lesz:

$y^{\prime \prime }+\alpha ^{2}y=0$.

Ennek az egyenletnek az általános megoldása:

$y=A\sin(\alpha x)+B\cos(\alpha x){\frac {}{}}$,

ahol A és B a peremfeltételektől függ. Mivel az l hosszúságú rúd mindkét végén csuklós megfogású,

$y(0)=0{\frac {}{}}$ és $y(l)=0{\frac {}{}}$, így

$B=0{\frac {}{}}$ és

$A\sin(\alpha l)=0{\frac {}{}}$.

Ez utóbbi nem triviális megoldásaiból gyakorlatilag az az érdekes eset, ha $\alpha l=\pi {\frac {}{}}$. Visszahelyettesítve az értékeket a kritikus törőerő értékét kapjuk:

$F_{t}=\left({\frac {\pi }{l}}\right)^{2}IE$.

Ha a nyomott rúd nem csuklóval rendelkezik a végén, a differenciálegyenlet azonos lesz, csak a peremfeltételek lesznek eltérőek és ezek befolyásolják a törőerő nagyságát. Az alábbi ábra szerinti esetekre összefoglalóan a következő összefüggés írható:

$F_{t}=\left({\frac {\pi }{l_{r}}}\right)^{2}IE$,

$l_{r}=\mu {l}\,$

ahol μ a befogás fajtájától függő tényező, értéke az ábrán látható.

A gyakorlatban a törést okozó σ_t nyomófeszültséget szokás számolni:

$\sigma _{t}={\frac {F_{t}}{T}}$,

ahol T a keresztmetszet területe. A másodrendű nyomaték az i inerciasugárral is felírható:

$I=i^{2}T\,$,

és bevezetve a

$\lambda ={\frac {l_{r}}{i}}$,

karcsúságot, az Euler-képlet a törőfeszültségre így írható:

$\sigma _{t}=\left({\frac {\pi }{\lambda }}\right)^{2}E$,

Tetmajer képlete

Törőfeszültség a karcsúság függvényében

A törőfeszültség csak akkor számítható a fenti összefüggés segítségével, ha az az arányossági határnál kisebb. Ebben a tartományban rugalmas kihajlásról beszélünk. Ha a törőfeszültséget a karcsúság függvényében ábrázoljuk, eredményül egy másodfokú hiperbolát, az úgynevezett Euler-hiperbolát kapjuk, amely azonban csak az arányossági határig érvényes. A σ_F folyáshatár a törőfeszültség felső határát jelenti. A folyáshatár és az arányossági határ között plasztikus kihajlásról beszélünk. Ebben a tartományban a magyar származású Tetmajer Lajos kísérletei szerint a λ - σ_t diagramban egy egyenessel ábrázolhatók. Ezek szerint:

$\sigma _{t}={\begin{cases}\left({\frac {\pi }{\lambda }}\right)^{2}E,&{\mbox{ha }}\sigma \leq \sigma _{p}\\a-b\lambda &{\mbox{ha }}\sigma _{p}\leq \sigma \leq \sigma _{F}\\\sigma _{F}&{\mbox{ha }}\sigma \geq \sigma _{F}\end{cases}}$,

Törőfeszültség számítása

Anyag	Szakítószilárdság MPa	III. szakasz λ<λF		II. szakasz λF <λ< λe		I. szakasz λ>λe σt MPa
		σt = σF MPa	λf	σt = a - bλ MPa	λe
Szénacél	370	240	60	308–1,14λ	105	${\frac {1441^{2}}{\lambda ^{2}}}$
	480	310	60	467–1,62λ	100	${\frac {1432^{2}}{\lambda ^{2}}}$
	520	360	60	589–3,82λ	100	${\frac {1432^{2}}{\lambda ^{2}}}$
Ötvözött acél	650	420	22	470–2,30λ	86	${\frac {1419^{2}}{\lambda ^{2}}}$
Dúralumínium	420	–	0	380–2,20λ	50	${\frac {820^{2}}{\lambda ^{2}}}$
Öntöttvas	–	–	5	776–12λ+0,053λ²	80	${\frac {997^{2}}{\lambda ^{2}}}$
Fenyőfa	–	–	0	30–0,2λ	100	${\frac {316^{2}}{\lambda ^{2}}}$
Tölgyfa	–	–	0	37,5–0,25λ	100	${\frac {354^{2}}{\lambda ^{2}}}$

Források

• Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1981. ISBN 963 10 359 13
• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.

Külső hivatkozások

• Agárdy Gyula-Lublói László: Mechanika II.