Kiváló erősen összetett számok

A számelméletben a kiváló erősen összetett számok (superior highly composite number, SHCN) olyan pozitív egész számok, melyeknek a náluk kisebb számoknál több osztójuk van, egy bizonyos módon skálázva a számokat. Ez erősebb megkötés, mint az erősen összetett számoké, mely csak azt követeli meg, hogy több osztójuk legyen, mint bármely náluk kisebb számnak.

A d(n) osztószámfüggvény grafikonja n = 250-ig

Az első 10 kiváló erősen összetett szám és prímtényezős felbontásuk:

# prím- tényezők	SHCN n	prím- felbontás	prím- kitevők	# osztók d(n)		primoriális felbontás
1	2	2	1	2	2	2
2	6	2 ⋅ 3	1,1	22	4	6
3	12	22 ⋅ 3	2,1	3×2	6	2 ⋅ 6
4	60	22 ⋅ 3 ⋅ 5	2,1,1	3×22	12	2 ⋅ 30
5	120	23 ⋅ 3 ⋅ 5	3,1,1	4×22	16	22 ⋅ 30
6	360	23 ⋅ 32 ⋅ 5	3,2,1	4×3×2	24	2 ⋅ 6 ⋅ 30
7	2520	23 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7	3,2,1,1	4×3×22	48	2 ⋅ 6 ⋅ 210
8	5040	24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7	4,2,1,1	5×3×22	60	22 ⋅ 6 ⋅ 210
9	55440	24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11	4,2,1,1,1	5×3×23	120	22 ⋅ 6 ⋅ 2310
10	720720	24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13	4,2,1,1,1,1	5×3×24	240	22 ⋅ 6 ⋅ 30030

Formális definíció szerint: n pozitív egész akkor kiválóan erősen összetett szám, ha létezik olyan pozitív ε valós szám, amire minden k természetes számra

${\frac {d(n)}{n^{\varepsilon }}}\geq {\frac {d(k)}{k^{\varepsilon }}}$,

ahol d(n) az osztószám-függvény, ami n osztóinak számát jelöli. A kifejezést Rámánudzsan használta először 1915-ben.

Az első 15 kiváló erősen összetett szám – 2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (A002201 sorozat az OEIS-ben) – megegyezik az első 15 kolosszálisan bővelkedő számmal, melyek hasonló feltételnek tesznek eleget, de az osztóösszeg-függvény alapján.

Jegyzetek

• (1915) „Highly composite numbers”. Proc. London Math. Soc. (2) 14, 347-409. o. DOI:10.1112/plms/s2_14.1.347.  Reprinted in Collected Papers (Ed. G. H. Hardy et al.), New York: Chelsea, pp. 78–129, 1962
• Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag, 45–46. o. (2006). ISBN 1-4020-4215-9 

További információk

• Weisstein, Eric W.: Superior highly composite number (angol nyelven). Wolfram MathWorld