A matematikában több függvény is Kummer-függvényként ismert. A Kummer-függvényeket többnyire fizikai problémák megoldásánál használják. A függvények Ernst Kummer (1810 – 1893) német matematikusról kapták a nevüket.
Az egyik ilyen ismert függvény az úgynevezett „speciális hipergeometrikus függvény”.[1]
A másik ismert függvény a polilogaritmushoz kapcsolódik, melynek a definíciója alább látható.
A Kummer-függvény definíciója:
![{\displaystyle \Lambda _{n}(z)=\int \limits _{0}^{z}{\frac {\log ^{n-1}|t|}{1+t}}\;dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be552f018d57304b617c44daaef75073a8183eeb)
A duplikációs formája:
.
Összehasonlítva a duplikációs formulát a polilogaritmussal:
Egy explicit kapcsolat a polilogaritmushoz:
![{\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)=\operatorname {Li} _{n}(1)\;\;+\;\;\sum _{k=1}^{n-1}(-)^{k-1}\;{\frac {\log ^{k}|z|}{k!}}\;\operatorname {Li} _{n-k}(z)\;\;+\;\;{\frac {(-)^{n-1}}{(n-1)!}}\;\left[\Lambda _{n}(-1)-\Lambda _{n}(-z)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85211fff8d3ca8c5992d4888913c433cbc419963)
- Lewin, Leonard, ed: Structural Properties of Polylogarithms. (hely nélkül): Providence, RI: American Mathematical Society. 1991. ISBN 0-8218-4532-2