Laplace-operátor

A Laplace-operátor (jele: Δ) a több dimenziós analízis fontos differenciáloperátora, ami megadja egy több dimenziós függvény tiszta második deriváltjainak összegét.

Hasonló operátor a nabla operátor (jele: ∇).

Általában

Skalármező Laplace-operátora:

$\Delta f=\operatorname {div} \left(\operatorname {grad} \,f\right)$

Vektormezőre:

$\Delta {\vec {A}}=\operatorname {grad} \left(\operatorname {div} \,{\vec {A}}\right)-\operatorname {rot} \left(\operatorname {rot} \,{\vec {A}}\right)$

A divergencia (div), a rotáció (rot) és a gradiens (grad) invarianciája miatt ez a definíció független a koordináta-rendszertől. Ha a Laplace-operátort skalármezőre alkalmazzák, akkor skalármezőt ad. Vektormezőre alkalmazva vektormezőt eredményez. n koordinátavektorra a Laplace-operátor így néz ki:

$\Delta ={\vec {\nabla }}^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}.$

a definíció alapján, ahol ${\vec {\nabla }}$ a nabla operátor.

Más koordináta-rendszerekben más alakja van; kiszámításához transzformálni kell a derékszögű koordináta-rendszert.

Egy dimenzióban

Egy dimenzióban a Laplace-operátor a második deriváltra redukálódik. Az egyváltozós $f(x)$ függvényre tehát formálisan felírható a következő egyenlet:

$\Delta f(x)={\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}$.

Két dimenzióban

Az $f(x,y)$ kétváltozós függvényre alkalmazva a Laplace-operátort:

derékszögű koordinátákban:

$\Delta f(x,y)={\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial y^{2}}}$

polárkoordinátákban:

$\Delta f(r,\phi )={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}$

vagy

$\Delta f(r,\phi )={\frac {1}{r}}\cdot {\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\cdot {\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}$

Három dimenzióban

A $f(x,y,z)$ háromváltozós függvényre adódik

derékszögű koordináta-rendszerben

$\Delta f(x,y,z)={\frac {\partial ^{2}f(x,y,z)}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f(x,y,z)}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f(x,y,z)}{\partial z^{2}}}$

hengerkoordinátákban

$\Delta f(\rho ,\phi ,z)={\frac {1}{\rho }}\cdot {\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho \cdot {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}$

az $f(r,\vartheta ,\phi )$ gömbi koordinátákkal

$\Delta f(r,\vartheta ,\phi )={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\cdot {\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \vartheta }}\cdot {\frac {\partial }{\partial \vartheta }}\left(\sin \vartheta \cdot {\frac {\partial f}{\partial \vartheta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\vartheta }}\cdot {\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}$

Az egyenlőségjel utáni első tag helyett a következő is írható: ${\frac {1}{r}}\cdot {\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\cdot f)$ vagy akár ${\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial r}}$ .

A Laplace-operátor Green-függvénye $G_{\Delta }(x,x')=-{\frac {1}{4\pi \|x-x'\|}}+F(x,x')$ mit $\Delta F(x,x')=0$.

Ekkor teljesül: $\Delta G_{\Delta }(x,x')=\delta (x-x')$, ahol $\delta$ a delta-disztribúció. Az elektrodinamikában a Green-függvényt a peremérték-probléma megoldásához használják.

Megjegyzések

A Laplace-operátor megjelenik például a Laplace-egyenletben:

$\Delta \varphi =0$

Ennek kétszer folytonosan differenciálható megoldásai a harmonikus függvények.

Mivel a Hesse-mátrix az összes második deriváltból képzett mátrix, azért a Laplace-operátor éppen a Hesse-mátrix nyoma.

Az angol nyelvű szakirodalomban a Laplace-operátor jele $\nabla ^{2}$.

A Laplace-operátor az idő szerinti deriválttal együtt a d'Alembert-operátort adja:

$\square ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta$

Ez az operátor a Laplace-operátor általánosításának tekinthető a Minkowski-tereken.

Tulajdonságok

A Laplace-operátor forgásszimmetrikus, azaz ha $f$ kétszer differenciálható és $R$ forgatómátrix, akkor

$\left(\Delta f\right)\circ R=\Delta \left(f\circ R\right)$,

ahol „$\circ$“ a függvénykompozíciót jelöli.

Lásd még: rotáció, divergencia, gradiens

Diszkrét Laplace-operátor és képfeldolgozás

A képfeldogozásban a Laplace-operátort az élek felderítésére, megjelenítésére használják. Az él a jel második deriváltjának nullátmeneteként jelentkezik. Ag_n és g_nm diszkrét jeleken a Laplace-operátort hajtogatásként alkalmazzák. Itt alkalmazzák a következő maszkokat:

1D-szűrő: ${\vec {D}}_{x}^{2}={\begin{bmatrix}1&-2&1\end{bmatrix}}$

2D-szűrő: $\mathbf {D} _{xy}^{2}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0\end{bmatrix}}$

A kétdimenziós szűrőnek van egy másik változata:

2D-Filter: $\mathbf {D} _{xy}^{2}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&-8&1\\1&1&1\end{bmatrix}}$

Ezek a differenciálhányadosok diszkretizálásával kaphatók.

Laplace–Beltrami-operátor

Értelmezése

A Laplace-operátor eredetileg az euklideszi térben van értelmezve. A riemanni geometria formalizmusa segítségével adódik a lehetőség arra, hogy általánosítsák a görbült felületekre, és a Riemann-sokaságokra. Ez az általánosított operátor a Laplace–Beltrami-operátor.

Definíció: a Laplace-Beltrami-operátor az (általánosított) gradiens (általánosított) divergenciája.

Az $f:M\rightarrow \mathbb {R}$ sokaságon értelmezett skalárfüggvény gradiense vektormező $M$-en.

Az $M$ sokaság minden $x$ pontjában fennáll a $\,v\in T_{x}M$ érintővektorra:

$\langle {\mbox{grad}}f(x),v\rangle =\mathrm {d} f(x)(v)$

Itt df(x) az f(x) függvény deriváltja x-ben, és ezt az érintőtér lineáris formájának fogják fel.

A gradiens kontravariáns komponensei így számíthatók:

$\left({\mbox{grad}}f\right)^{i}=\partial ^{i}f=g^{ij}\partial _{j}f$

az Einstein-féle összegkonvencióval. Ez azt jelenti, hogy j az összegben 1-től n-ig megy. A $g^{ij}$-k a $g_{ij}$ metrikus tenzor inverz mátrixának elemei. Tehát $g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}$, ahol $\delta _{k}^{i}$ a Kronecker-delta.

Az X vektormező divergenciája az $M$ sokaságon az X vektormező szerinti térfogatelemek $L_{X}$ Lie-deriváltjával

$({\mbox{div}}X)\;\mathrm {vol} _{n}:={\mathcal {L}}_{X}\mathrm {vol} _{n}$

Ha $g$ a sokaság metrikus tenzora, akkor a térfogatelem a helyi koordináták szerint

$\mathrm {vol} _{n}:={\sqrt {|g|}}\;\mathrm {d} x^{1}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x^{n}$

Itt $|g|:=|\det g_{ij}|$ a metrikus tenzor determinánsának abszolútértéke.

A $\mathrm {d} x^{i}$-k a

$\partial _{i}:={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$

bázisvektorok kovektorai, és bázist alkotnak a helyi koordináta-rendszer duális terében.

Helyi koordinátákban

${\mbox{div}}X={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}\left({\sqrt {|g|}}X^{i}\right).$

Összesítve a Laplace-Beltrami-operátor:

$\Delta f={\mbox{div grad}}\;f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}\left({\sqrt {|g|}}\partial ^{i}f\right)$.

Alakjai

A szorzás- és láncszabállyal erre az alakra hozható:

$\Delta f=\partial _{i}\partial ^{i}f+(\partial ^{i}f)\partial _{i}\ln {\sqrt {|g|}}$

Mivel a háromdimenziós euklideszi térben a derékszögű koordináta-rendszerre $|g|=1$, azért $\Delta f=\partial _{i}\partial ^{i}f$ adódik, ami éppen megfelel a Laplace-operátornak. A (+,-,-,-) vagy (-,+,+,+) Minkowski-metrikával a D'Alembert-operátor áll elő.

A Laplace-Beltrami-operátorba az euklideszi polár-, henger- vagy gömbi metrikus tenzorokat helyettesítve is a Laplace-operátort kapjuk ezekben a koordináta-rendszerekben felírva, mert a polár- és hengerkoordinátákra $|g|=r$ és $|g|=\rho$, a gömbi koordinátákra pedig $|g|=r\sin \theta$.

A Laplace-Beltrami-operátor felírható a Christoffel-szimbólumokkal is:

$\Delta f=g^{ij}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}-\Gamma _{ij}^{k}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}\right)$.

A d külső deriválttal és az általánosított divergenciával bizonyítható a sokaságokra a következő azonosság:

$\int _{M}\mathrm {d} f(X)\;\mathrm {vol} _{n}=-\int _{M}f{\mbox{div}}X\;\mathrm {vol} _{n}$.

Alkalmas f és h függvényekre:

$\int _{M}f\Delta h\;\mathrm {vol} _{n}=-\int _{M}\langle {\mbox{grad}}f,{\mbox{grad}}h\rangle \;\mathrm {vol} _{n}=\int _{M}h\Delta f\;\mathrm {vol} _{n}$.

Források

• Otto Forster: Analysis 3. - 3. Auflage. - Braunschweig ; Wiesbaden : Vieweg, 1984
• Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik. - Braunschweig ; Wiesbaden : Vieweg, 1995