Megoldóképlet

A megoldóképlet az n-edfokú

$a_{n}\cdot x^{n}+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+a_{1}\cdot x+a_{0}=0~~~(a_{n}\neq 0)~$

algebrai egyenlet megoldásait (gyökeit) szolgáltató algoritmus, mely véges sok lépésben véget érő és csak az algebrai műveleteket (a négy alapműveletet és a gyökvonást) használja.

Iteratív megoldások, melyek a gyököket tetszőleges pontossággal megközelítik nem tekintendők „megoldóképletnek”. A gyakorlatban sokszor kielégítő a közelítő megoldás. Ilyen közelítő megoldások régóta ismeretesek (például Al-Kásié (?-1429) vagy a Bernoulli–Lobacsevszkij–Graeffe-féle gyökhatványozó eljárás.

Először Carl Friedrich Gauss (1777-1855) bizonyította szabatosan az algebra alaptételét, mely szerint az n-edfokú egyenletnek pontosan n megoldása van. A megoldások nem feltétlenül mind valósak. Az n-edfokú egyenlet általában csak a komplex számkörben oldható meg.

Megoldóképletek

Elsőfokú egyenlet

Az $ax+b=0$ alakú elsőfokú egyenlet esetében

az $x=-{\frac {b}{a}}$ megoldóképlet adja meg a megoldást.

Másodfokú egyenlet

Az $ax^{2}+bx+c=0$ alakú másodfokú egyenlet megoldóképlete:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$.

A másodfokú egyenlet diszkriminánsa: $D=b^{2}-4ac$

A másodfokú egyenlet megoldóképletét először, a mai alakhoz hasonló egységes formában (a felesleges, együtthatókkal kapcsolatos esetszétválasztások nélkül) Michael Stifel (1487-1567) írta fel, bár a mainál sokkal esetlenebb jelölésekkel.

Harmadfokú egyenlet

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

A harmadfokú esetre elméletben legalábbis a Girolamo Cardano (1501-1576) nevét viselő úgynevezett Cardano-képlet használható. A Cardano-képlet a következő:

$x_{1}=-{\frac {b}{3a}}-{\frac {\sqrt[{3}]{-b^{2}+3ac}}{3a\cdot {\sqrt[{3}]{-2b^{3}+9abc-27a^{2}d+{\sqrt {4(-b^{2}+3ac)^{3}+(-2b^{3}+9abc-27a^{2}d)^{2}}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-2b^{3}+9abc-27a^{2}d+{\sqrt {4(-b^{2}+3ac)^{3}+(-2b^{3}+9abc-27a^{2}d)^{2}}}}}{3a\cdot {\sqrt[{3}]{2}}}}$$x_{2}=-{\frac {b}{3a}}+{\frac {(1+i{\sqrt {3}})(-b^{2}+3ac)}{3a\cdot 2^{2/3}\cdot {\sqrt[{3}]{-2b^{3}+9abc-27a^{2}d+{\sqrt {4(-b^{2}+3ac)^{3}+(-2b^{3}+9abc-27a^{2}d)^{2}}}}}}}-{\frac {(1-i{\sqrt {3}})\cdot {\sqrt[{3}]{-2b^{3}+9abc-27a^{2}d+{\sqrt {4(-b^{2}+3ac)^{3}+(-2b^{3}+9abc-27a^{2}d)^{2}}}}}}{6a\cdot {\sqrt[{3}]{2}}}}$$x_{3}=-{\frac {b}{3a}}+{\frac {(1-i{\sqrt {3}})(-b^{2}+3ac)}{3a\cdot 2^{2/3}\cdot {\sqrt[{3}]{-2b^{3}+9abc-27a^{2}d+{\sqrt {4(-b^{2}+3ac)^{3}+(-2b^{3}+9abc-27a^{2}d)^{2}}}}}}}-{\frac {(1+i{\sqrt {3}})\cdot {\sqrt[{3}]{-2b^{3}+9abc-27a^{2}d+{\sqrt {4(-b^{2}+3ac)^{3}+(-2b^{3}+9abc-27a^{2}d)^{2}}}}}}{6a\cdot {\sqrt[{3}]{2}}}}$

A harmadfokú egyenlet valós megoldásait a megoldóképlettel csak úgy találhatjuk meg, ha a számítás során kilépünk a valós számkörből és, ha csak átmenetileg is, de belépünk a komplex számok világába. A harmadfokú egyenlet megoldásának ennélfogva igen nagy a tudománytörténeti jelentősége.

Negyedfokú egyenlet

A negyedfokú esetre a megoldóképlet Cardano tanítványától, Ludovico Ferraritól származik. Az ő módszere a teljes négyzetté alakítás volt. Egy évszázad múlva René Descartes Értekezés a módszerről című művében közölt zárt képletének alapja két másodfokú polinom szorzata volt, ahol a két elsőfokú tag egymás inverze volt (ti. így kiesik a harmadfokú tag).

A negyedfokú egyenlet megoldóképlete csak egy érdektelen részlet a matematikatörténetben a harmad- és az ötödfokú egyenlet megoldóképletéhez képest.

A valós együtthatós negyedfokú egyenlet megoldása Ludovico Ferrari szerint

Az $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ negyedfokú egyenlet megoldását Ludovico Ferrari (1522–1565) két másodfokú egyenlet megoldására vezette vissza. Előbb azonban meg kell oldani egy harmadfokú egyenletet, melynek eredményét a másodfokú egyenletek együtthatóinak képzésekor fogjuk felhasználni.

A harmadfokú egyenlet: $y^{3}+3py+2q=0$, ahol

$3p={\frac {ac}{4}}-{\frac {b^{2}}{12}}-d$

$2q={\frac {abc}{24}}-{\frac {a^{2}d}{8}}-{\frac {b^{3}}{108}}+{\frac {bd}{3}}-{\frac {c^{2}}{8}}$.

Megoldása a Cardano-képlettel történik. z-t úgy kapjuk meg, hogy a harmadfokú egyenlet egyik valós y megoldásához b/6-ot hozzáadjuk: z = y + b/6. A másodfokú egyenletek:

$x^{2}+(a/2+{\sqrt {a^{2}/4-b+2z}})\cdot x+z\pm {\sqrt {z^{2}-d}}=0$

$x^{2}+(a/2-{\sqrt {a^{2}/4-b+2z}})\cdot x+z\mp {\sqrt {z^{2}-d}}=0$

Kettős műveleti jelnél az alsót akkor kell használni, ha $az-c<0$.

Ötöd- vagy magasabb fokú egyenletek

Niels Henrik Abel (1802-1829) bebizonyította, hogy az ötödfokú esetben nem található megoldóképlet. Ez nem azt jelenti, hogy nincs megoldás, hanem, hogy nincs olyan véges lépés után véget érő számítási eljárás, amely csak a négy algebrai műveletet továbbá a gyökvonást használja és általános módszert szolgáltatna a gyökök megkeresésére (azaz minden egyenlet esetén ugyanazzal az eljárással előállíthatnánk a gyököket). Később Évariste Galois (1811-1832) megmutatta, hogy az ötnél magasabb fokú esetekben sem létezik megoldóképlet.

Források

• Sain Márton: „Matematikatörténeti ABC”, Tankönyvkiadó, 1978.
• „Nincs királyi út”, Gondolat, 1986.

További információk

• A megalázott géniusz, YOUPROOF* Online másodfokú egyenlet megoldó és számológép