A matematikában a Mercator-sor – más néven Newton–Mercator-sor – a természetes logaritmus Taylor-sora :[ 1]
ln
(
1
+
x
)
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+
⋯
.
{\displaystyle \ln(1+x)\;=\;x\,-\,{\frac {x^{2}}{2}}\,+\,{\frac {x^{3}}{3}}\,-\,{\frac {x^{4}}{4}}\,+\,\cdots .}
Összegzéses (szummázás) jelöléssel:
ln
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
x
n
.
{\displaystyle \ln(1+x)\;=\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}.}
A sorozat a természetes logaritmushoz (1-gyel eltolva) konvergál, ha –1 < x ≤ 1.
A sor a Taylor-elméletből származtatható, induktívan az lnx függvény n-edik deriválásából, x=1 –nél, melynek kezdete:
d
d
x
ln
x
=
1
x
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}
vagy kezdődhet egy véges mértani sorozattal ((t ≠ –1):
1
−
t
+
t
2
−
⋯
+
(
−
t
)
n
−
1
=
1
−
(
−
t
)
n
1
+
t
{\displaystyle 1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}={\frac {1-(-t)^{n}}{1+t}}}
melyből:
1
1
+
t
=
1
−
t
+
t
2
−
⋯
+
(
−
t
)
n
−
1
+
(
−
t
)
n
1
+
t
.
{\displaystyle {\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}.}
ezt követi:
∫
0
x
d
t
1
+
t
=
∫
0
x
(
1
−
t
+
t
2
−
⋯
+
(
−
t
)
n
−
1
+
(
−
t
)
n
1
+
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}\left(1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}\right)\,dt}
és tagonkénti integrálással
ln
(
1
+
x
)
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
⋯
+
(
−
1
)
n
−
1
x
n
n
+
(
−
1
)
n
∫
0
x
t
n
1
+
t
d
t
.
{\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+(-1)^{n}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{1+t}}\,dt.}
ha –1 < x ≤ 1, és a maradék tag tarta 0-hoz, míg
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
−
x
A
k
(
x
)
+
B
k
(
x
)
ln
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
x
n
+
k
n
(
n
+
1
)
⋯
(
n
+
k
)
,
{\displaystyle -xA_{k}(x)+B_{k}(x)\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)}},}
ahol
A
k
(
x
)
=
1
k
!
∑
m
=
0
k
(
k
m
)
x
m
∑
l
=
1
k
−
m
(
−
x
)
l
−
1
l
{\displaystyle A_{k}(x)={\frac {1}{k!}}\sum _{m=0}^{k}{k \choose m}x^{m}\sum _{l=1}^{k-m}{\frac {(-x)^{l-1}}{l}}}
és
B
k
(
x
)
=
1
k
!
(
1
+
x
)
k
{\displaystyle B_{k}(x)={\frac {1}{k!}}(1+x)^{k}}
melyek x polinomjai
x=1 esetén a Mercator-sor egy harmonikus sor :
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
k
=
ln
2.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln 2.}
A komplex hatvány sorozat
z
−
z
2
2
+
z
3
3
−
z
4
4
+
⋯
{\displaystyle z\,-\,{\frac {z^{2}}{2}}\,+\,{\frac {z^{3}}{3}}\,-\,{\frac {z^{4}}{4}}\,+\,\cdots }
z ) Taylor-sora , ahol ln a komplex logaritmus egy ágára utal.
Ez egy konvergáló sorozat egy nyílt tartományon belül
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
|
z
|
=
1
{\displaystyle |z|=1}
z
=
−
1
{\displaystyle z=-1}
Abel-teszt miatt), és a konvergencia egyenletes minden zárt körön, ahol a sugár szigorúan kisebb mint 1.
