Ortonormált rendszer

A lineáris algebrában és a funkcionálanalízisben egy ortogonális rendszer skalárszorzatos vektortérben értelmezhető. Vektorok egy halmaza ortogonális rendszer, ha páronkénti skalárszorzatuk nulla. Ha ehhez még a rendszerben minden vektor normája egy, akkor a rendszer ortonormált.

Definíció

Egy $V$ skalárszorzatos vektortér egy $M$ részhalmaza ortogonális rendszer, ha:

• $M$-ben bármely két különböző vektor ortogonális egymásra: $\forall v,w\in M:v\neq w\Rightarrow \langle v,w\rangle =0$
• A halmaz nem tartalmazza a nullvektort.

Itt $\langle v,w\rangle$ a $V$ téren értelmezett skalárszorzat.

Továbbá, ha $M$-ben minden vektor normált, vagyis $\forall v\in M:\langle v,v\rangle =1$, akkor $M$ ortonormált rendszer.

Tulajdonságok

• Az ortogonális rendszerek lineárisan függetlenek.
• Szeparábilis Hilbert-terekben, például véges dimenziós Hilbert-terekben a Gram–Schmidt ortogonalizációval minden lineárisan független rendszerből ortogonális rendszer, ebből normálással ortonormált rendszer kapható. Ugyanezzel az eljárással Schauder-bázisból ortogonális bázis, illetve ortonormált bázis kapható.
• Egy $M$ ortonormált rendszerre teljesül a Bessel-egyenlőtlenség:

  $\sum _{e\in M}|\langle x,\,e\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}\quad \forall ~x\in V.$

• Minden $x\in V$ esetén legfeljebb megszámlálható sok $e\in M$ van, amire $\langle x,e\rangle \neq 0$.

Példák

• $\mathbb {R} ^{n}$ a standard skalárszorzattal: a standard bázis ortonormált rendszer.
• $L^{2}([0,2\pi ])$-ben a $(a,b)\mapsto \int _{0}^{1}ab$ a $\cos(kx)$ függvények ortogonális rendszert alkotnak.
• $\ell ^{2}$ a $(a,b)\mapsto \sum a_{n}b_{n}$ skalárszorzattal: az $(0,\cdots ,0,1,0,\cdots )$ sorozatok ortogonális rendszert alkotnak.
• A legfeljebb ötödfokú polinomok ${\mathcal {P}}^{5}([0,1])$ terében az $(a,b)\mapsto \int _{0}^{1}ab$ skalárszorzattal: az $x\mapsto 1$ és $x\mapsto x-{\frac {1}{2}}$ függvények ortogonális rendszert alkotnak.

Források

• Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 13. Auflage. Vieweg, 2002, ISBN 3-528-97217-3. ( „Erzeugendensystem“ fejezet, véges dimenziókra)
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6. Kapitel V.3 (végtelen dimenzióra, a példák bizonyításokkal)

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Orthogonalsystem című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.