Részbenrendezett halmaz

A matematikában részbenrendezett halmaznak (vagy más néven parciálisan rendezett halmaznak, angolul: partially ordered set vagy poset) nevezünk egy halmazt, ha definiálva van a halmaz elemein egy részbenrendezés (vagy más néven parciális rendezés), azaz egy reflexív, antiszimmetrikus, tranzitív reláció. Részbenrendezett halmazok esetében tehát nem követeljük meg, hogy az alaphalmaz bármely két eleme összehasonlítható legyen, mint a rendezett halmazoknál.

Részbenrendezett halmaz Hasse-diagramja

Részbenrendezett halmaz rendezett részhalmazának neve lánc, az olyan részhalmazé pedig, amelyben semelyik két elem sem hasonlítható össze, antilánc.

Részbenrendezett halmazok ábrázolására általában Hasse-diagramot használunk.

Definíció

Az $(A;\leq )$ párt részbenrendezett halmaznak nevezzük, ha $A$ tetszőleges halmaz, $\leq$ pedig $A$-n értelmezett részbenrendezés, azaz tetszőleges $a,b,c\in A$ elemekre teljesülnek a következők:

• reflexív: $a\leq a$
• ha $a\leq b$ és $b\leq a$, akkor $a=b$
• tranzitív: ha $a\leq b$ és $b\leq c$, akkor $a\leq c$

Gyenge és erős részbenrendezés

Bizonyos kontextusokban a fent definiált reflexív, antiszimmetrikus, tranzitív részbenrendezést („≤”) gyenge részbenrendezésnek nevezik, és definiálják a szigorú részbenrendezést („<”), ami antiszimmetrikus, tranzitív, de irreflexív.

Kiterjesztés, kompatibilitás, atommentesség, elágazó részbenrendezett halmazok

Legyen $(A;\leq )$ tetszőleges részbenrendezett halmaz és $a,b\in A$. Azt mondjuk, hogy b kiterjesztése a-nak, ha $b\leq a$, illetve valódi kiterjesztésről beszélünk, ha $b\leq a$ és $b\neq a$

Legyen $(A;\leq )$ tetszőleges részbenrendezett halmaz és $a,b\in A$. Akkor mondjuk, hogy az $a$ és $b$ elemek kompatibilisek, ha van közös kiterjesztésük, azaz van olyan $c\in A$ elem, amelyre $c\leq a$ és $c\leq b$ is teljesül. Ellenkező esetben inkompatibilis elemekről beszélünk.

Legyen $(A;\leq )$ tetszőleges részbenrendezett halmaz és $a\in A$. Az $a$ elemet atomnak nevezzük, ha az $a$ elemnek nincs valódi kiterjesztése. Az $(A;\leq )$ részbenrendezett halmazt atommentesnek nevezzük, ha nincs benne atom.

Az $(A;\leq )$ részbenrendezett halmazt elágazó részbenrendezett halmaznak nevezzük, ha tetszőleges $a,b\in A$ elemekhez létezik olyan $c\in A$ elem, hogy $c$ kompatibilis $a$-val és inkompatibilis $b$-vel.

Tulajdonságok

Legyen $(A;\leq )$ tetszőleges atommentes, elágazó részbenrendezett halmaz. Ekkor tetszőleges $a\in A$ elemhez létezik $b,c\in A$ elem úgy, hogy $b$ és $c$ egyaránt kiterjesztése $a$-nak, azonban $b$ és $c$ egymással inkompatibilis.

Szélessége és magassága

Egy részbenrendezett halmaz magassága megegyezik a maximális lánc számosságával. A Dilworth-tétel duálisa kimondja, hogy bármely véges magasságú részbenrendezett halmaznál a magasság megegyezik azzal a számmal, ahány antiláncra lehet bontani a részbenrendezett halmazt minimálisan.

Maximális antilánc alatt olyan antiláncot értünk, ami nem valódi részhalmaza egyetlen más antiláncnak sem. A maximális antilánc számossága nagyobb vagy egyenlő bármely más antilánc számosságánál. A részbenrendezett halmaz szélessége megegyezik maximális antiláncának számosságával. Mivel bármely antilánc legfeljebb egyetlen közös elemet tartalmaz egy lánccal, ha a halmazt fel tudjuk osztani k láncra, akkor a részbenrendezett halmaz szélességének legfeljebb k-nak kell lennie. Dilworth tétele kimondja, hogy ezt a határt minden esetben el is lehet érni: mindig létezik olyan antilánc, és a halmaz elemeinek olyan láncokra bontása, hogy a láncok száma megegyezik az antilánc elemeinek számával, ami szintén megegyezik a részbenrendezett halmaz szélességével.

Példák

• A természetes számok halmazán értelmezett oszthatóság reláció részbenrendezés.
• Definíció szerint minden rendezett halmaz részbenrendezett.

Kapcsolódó szócikkek

• Kuratowski–Zorn-lemma
• Hausdorff–Birkhoff-tétel
• Háló
• Forszolás

Hivatkozások

• Csirmaz László: Forszolás (jegyzet)
• Rédei László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest (1954)
• Szász Gábor: Bevezetés a hálóelméletbe, Akadémiai Kiadó, Budapest (1959)
• Szendrei Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)

További információk

• Alice és Bob - 12. rész: Alice és Bob rendet tesz
• Alice és Bob - 15. rész: Alice és Bob az absztrakció útján
• Alice és Bob - 19. rész: Alice és Bob ideáljai
• Partially Ordered Set a MathWorld oldalán
• Forszolás (jegyzet) Csirmaz László oldalán