Rend (matematika)

Ez a szócikk a rend fogalmának matematikán belüli használatáról szól. Hasonló címmel lásd még: rend (egyértelműsítő lap).

A rend megnevezés előkerül például a számelméletben (többféle változatban), az absztrakt algebrában (még többféle változatban), a lineáris algebrában.

Struktúra rendje

Adott egy $U$ halmaz feletti ${\mathcal {S}}=\left(U,{\mathcal {T}},{\mathcal {R}},{\mathcal {M}},{\mathcal {C}}\right)$ matematikai struktúra, ekkor az U tartóhalmaz vagy univerzum számosságát (elemeinek számát) a struktúra rendjének is nevezzük; jelölések: $|{\mathcal {S}}|=|U|$

Neutrális elemre vonatkozó rend

Adott egy $\left(U,*,e\right)$ egyműveletes neutrális elemes algebrai struktúra (unitér grupoid); melyben legyen e ∈ U neutrális elem. Ekkor az x ∈ U elem rendjének nevezzük a * műveletre nézve azt a legkisebb pozitív m := o(x) természetes számot, amelyre x^m =e. Itt x ^m egy speciális műveletet, a * művelet szerinti iterációt (többszörözést/hatványozást) jelenti.

Ilyen szám nem feltétlenül létezik. Ha nincsen, akkor vagy azt mondjuk, a rend legyen 0, vagy pedig, hogy végtelen. Mindkét megállapodásnak vannak előnyei is, hátrányai is. Talán az utóbbi megállapodás (a végtelen rendűség definiálása) gyakoribb, elfogadottabb.
Ha a struktúra és művelet additív, illetve multiplikatív írásmódú (összeadás ill. szorzás), akkor szokás additív ill. multiplikatív rendről beszélni. Ennek fontos szerepe van például többműveletes struktúrák esetén.

Ciklikus rend

A véges testek elméletében definiálható egy test elemének egy adott résztestre vonatkozó ciklikus rendje is, mely fogalom igen hasznos mind a test feletti polinomok irreducibilitásának illetve megoldásainak (gyökeinek), mind bizonyos automorfizmusok vizsgálatában.

Polinom rendje

Egy adott test feletti polinomnak többféle értelemben is lehet rendje (más néven periódusa).

Rekurziós rend

Egy rekurzív sorozat rendje az m pozitív természetes szám, ha a sorozat első m eleméből az összes többi elem rekurzívan számolható. Egy sorozatnak több rendje is lehet (ha m rendje, akkor valójában minden n ≥ m is rendje); ezek közt a legkisebbet a minimális rendjének, vagy egyszerűen csak a rendjének nevezzük, és o(sorozat neve)-val jelöljük.