Szögharmadolás

A szög harmadolása (lat. trisectio), azaz egy tetszőleges szög három egyenlő részre osztása egyike annak a négy nevezetes geometriai szerkesztési feladatnak, amellyel már az ókori görög matematikusok és nyomukban több tudósnemzedék is foglalkozott (l. még a kocka megkettőzése, szabályos hétszög szerkesztése, a kör négyszögesítése).

A probléma analízise

A geometriai szerkesztések elméletének eredménye szerint azok a szerkesztési feladatok, amelyek analitikusan irreducibilis harmadfokú egyenlethez vezetnek, nem oldhatók meg euklideszi szerkesztéssel. A szögharmadolás ilyen, ugyanis a $2\cos {\frac {\alpha }{3}}$ ismeretlenre felírt $x^{3}-3x-2\cos \alpha =0$ egyenlet valós gyökét kellene megszerkeszteni. Ennek nem minden esetben van analitikus megoldása. Vannak azonban olyan szögek, melyeket az egyenletbe helyettesítve van racionális gyök és ekkor a szerkesztés is elvégezhető. Például: $\alpha =\pi$ esetén az egyenlet: $x^{3}-3x+2=0$, ennek valós gyöke x=1, tehát a $\beta ={\frac {\alpha }{3}}={\frac {\pi }{3}}=60^{\circ }$ szerkeszthető.

A téma története

A feladatot az a kikötés teszi megoldhatatlanná, hogy a szerkesztéshez csak körzőt és vonalzót szabad használni (euklideszi szerkesztés). Az antik matematika történetében a probléma első nyomait az éliszi filozófus Hippiasznál (i. e. 420 k.) találjuk, bár maga a mű elveszett, csupán más szerzők (Proklosz, Papposz 4. sz.) hivatkozásaiból ismerjük. Bizonyára ez is, mint oly sok más téma, még ennél is korábbi eredetű. A megoldhatatlanságát az ókorban már sejtették, de bizonyítása csak az újkori matematikusoknak sikerült. A görög, arab és később az európai matematikusok az euklideszi szerkesztésekhez nem tartozó eszközöket és síkgörbéket használtak a megoldáshoz. Néhányat ezek közül (nem időrendben) bemutatunk.

Arkhimédész (i. e. 250 k.) a szerkesztéshez a körző és a vonalzó mellett a betoló vonalzót (N-vonalzó) használja egy egyenes és egy kör közötti neuszisz szerkesztéshez. Az $ABO\triangle$ és a $BOP\triangle$ egyenlő szárú háromszögekre és a külső szögekre vonatkozó tételekből a szerkesztés helyessége kiolvasható.

Nikomédész (i. e. 240 k.) az előbbivel csaknem egyidejű megoldásában feltehetően az általa konstruált konchoisz körzőt is használta. Itt az N-vonalzót alkalmazó megoldást láthatjuk. Az előbbitől abban is különbözik, hogy két egyenes közötti neusziszt szerkeszt. Az igazoláshoz az előzőhöz hasonló tételek mellett Thalész (i. e.530 k.) tételét is felhasználja.

Hippiasz (i. e. 420 k.) az elsőként ismert megoldásban az általa felfedezett, ún. kvadratrix görbét használja. A polárkoordinátákban $r\sin \varphi =\varphi$ egyenletű görbe pontjainak ordinátája $y=r\sin \varphi$ arányos lévén a $\varphi$ azimuttal, tehát a szerkesztés ennek a szakasznak az egyenlő részekre osztásával történik. Ebből következik, hogy a görbe egy szög tetszőleges számú egyenlő, vagy akármilyen arányú felosztására is alkalmazható.

Az Arkhimédész-féle spirál, az$r=k\varphi$ poláris egyenletű görbe ugyanúgy használható a szög tetszőleges számú és tetszőleges arányú felosztására, mint a quadratrix. Itt az $OP$ rádiuszt kell arányosan osztani.

Az alexandriai Papposz (i. sz. IV. sz.) a Matematikai gyűjteményében többek között kimutatta, hogy a szög harmadolása kör és hiperbola metszésével is megoldható. Ehhez meg kell rajzolni egy olyan hiperbolát, aminek (lineáris) excentrumossága a valós féltengely kétszerese: $c=2a$ . Az egyik csúcs $(A)$ és a másik fókusz $(F_{2})$, mint húr fölé $180^{o}-\alpha$ látószögnek megfelelő körívet kell szerkeszteni.

Az alig 17 éves Bolyai János (XIX. sz.) egy feljegyzéséből következik egy egyszerűbben kivitelezhető szerkesztés, ami az $xy=1$ hiperbolát használja. Az origóban felmért $\alpha$ szög szára által kimetszett $C(u,v)$ pont körül $2r=2OC$ sugárral rajzolt kör és a hiperbola $P(a,b)$ metszéspontja olyan $CP$ egyenest ad, ami az abszcissza tengellyel $\beta =\alpha /3$ szöget zár be.

Néhány további megoldás

Az ókori próbálkozók a koordinátageometriát még nem ismerték. A Descartes-ot követő nemzedékek egyrészt az ókori megoldások görbéinek analitikus vizsgálatával foglalkoztak, majd újabb görbéket vontak be a probléma megoldásába, illetve konstruáltak a szerkesztés elvégzéséhez.

A francia Pascal (1623-62) a limaçon (Pascal-csiga) nevű görbét használta.

Az angol Maclaurin (1698-1746) a feladathoz készített trisectrix (harmadoló) nevű görbét használta.

A XIX. század végén H. Kortum és Henry John Stephen Smith egymástól függetlenül kimutatta, hogy a feladat (más megoldhatatlan szerkesztésekkel együtt) bármilyen körtől különböző kúpszelet felhasználásával elvégezhető. Egy ilyen, az $y=x^{2}$ parabolát használó szerkesztést mutat az ábra. (Látható, hogy a megoldás a gyakorlatban nem nagyon használható, csupán az elvi lehetőséget illusztrálja.)

A magyar Katona Dienes, aki azt hitte, megoldotta a feladatot, valójában egy nagyon jó, kis hibával működő közelítő szerkesztést adott.

Források

• Courant – Robbins: Mi a matematika? (Gondolat, 1966)
• Dörrie, Heinrich: A diadalmas matematika (Gondolat, 1965)
• Hajós György: Bevezetés a geometriába (Tankönyvkiadó, 1960)
• Reinhardt, F. – Soeder, H.: SH atlasz-Matematika (Springer-Verlag, 1993)
• Ribnyikov, K. A.: A matematika története (Tankönyvkiadó, 1968)
• Sain Márton: Matematikatörténeti ABC (Nemzeti Tankönyvkiadó - Typotex, 1993)
• Strathern, Paul: Arkhimédész (Elektra Alkotóház, é.n.)
• Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei (Közoktatásügyi Kiadóvállalat, 1951)
• Szökefalvi-Nagy Gyula: A geometriai szerkesztések elmélete (Akadémiai Kiadó, 1968)
• Waerden, B. L.: Egy tudomány ébredése (Gondolat, 1977)

Kapcsolódó szócikkek

• Körnégyszögesítés
• Kvadratrix

További információk

• A megalázott géniusz, YOUPROOF