Üres szorzat

A matematikában az üres szorzat, tényezők nélküli szorzat vagy nulláris szorzat a tényezők nélküli szorzás végeredménye. Megegyezés alapján az üres szorzat értéke megegyezik a multiplikatív egységelemmel (azaz 1-gyel), ha az a kérdéses szorzásművelet esetében létezik, hasonlóan ahhoz, ahogy az összeadás esetében az üres összeg értéke megegyezés szerint 0, avagy az additív egységelem.^[1]^[2]^[3]

Az „üres szorzat” kifejezés leggyakrabban számtani műveletekkel kapcsolatban fordul elő. Értelmezhető azonban halmazok metszete, kategóriaszorzat, számítógép-programozási szorzás esetében is, ezeket lejjebb tárgyaljuk.

Nulláris számtani szorzat

Motiváció

Legyen a₁, a₂, a₃,... egy számsorozat, és legyen

P_{m}=\prod _{i=1}^{m}a_{i}=a_{1}\cdots a_{m}

a sorozat első m tagjának a produktuma. Ekkor

P_{m}=a_{m}\cdot P_{m-1}

Minden m = 1,2… számra, feltéve, ha a következő megegyezés szerint járunk el: $P_{1}=a_{1}$ és $P_{0}=1$ . Más szavakkal, a $P_{1}$ egytényezős „szorzata” magát a tényezőt adja vissza, míg a tényezők nélküli $P_{0}$ „szorzat” értékét 1-nek tekintjük. A 0 vagy 1 tényezőjű szorzat megengedése számos matematikai képletben lecsökkenti az esetek számát, amivel foglalkozni kell. Az ilyen szorzatok természetes kiindulási pontjai számos teljes indukciós bizonyításnak és algoritmusnak. Emiatt az „üres szorzat értéke 1” elterjedt konvenció a matematikában és a számítógép-programozásban.

Az üres szorzat definíciójának értelme

Az üres szorzat koncepciójának hasznossága koncepcionálisan a 0 és az üres halmaz hasznosságához hasonlítható: bár önmagukban nem túl érdekes fogalmak, létezésük sok matematikai fogalom egyszerűbb kezelését teszi lehetővé.

Például a 0! = 1 és x⁰ = 1 üres szorzatok lerövidítik a Taylor-sor lejegyzését (lásd Nulla a nulladikon azt az esetet, amikor x=0). Hasonlóan, ha M egy n × n-es mátrix, akkor M⁰ éppen az n × n egységmátrix, mivel egy lineáris leképezés nullaszoros alkalmazása megegyezik az identitásfüggvény alkalmazásával.

Egy másik példa, hogy a számelmélet alaptétele szerint minden pozitív egész szám egyféleképpen írható fel prímszámok szorzataként. Ha nem engedjük meg a 0 vagy 1 szorzótényezős szorzatokat, a tétel (és bizonyítása) meghosszabbodik.^[4]^[5]

Az üres szorzat a következő területeken is előfordul a matematikában: binomiális tétel (ami feltételezi és implikálja, hogy x⁰=1 bármely x-re), Stirling-szám, Kőnig-egyenlőtlenség, binomiális sor, különbség operátor és Pochhammer-szimbólum.

Logaritmus

Mivel a logaritmusok a szorzatokat összegekké alakítják, az üres szorzatot üres összeggé kellene leképezniük. Tehát ha az üres szorzat értékét 1-nek definiáljuk, az üres összeg értéke $\ln(1)=0$ kellene legyen. Megfordítva, mivel a hatványfüggvények összegeket szorzatokká alakítanak, ha az üres összeg értékét 0-nak tekintjük, az üres szorzat értéke $e^{0}=1$ kellene legyen.

\prod _{i}x_{i}=e^{\sum _{i}\ln x_{i}}

Nulláris Descartes-szorzat

Tekintsük a Descartes-szorzat általános definícióját:

\prod _{i\in I}X_{i}=\{g:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\ |\ \forall i\ g(i)\in X_{i}\}.

Ha I üres, az egyetlen megfelelő g az $f_{\varnothing }$ üres függvény, mely az üres halmazt az üres halmazra képezi le:

\prod _{\varnothing }{}=\{f_{\varnothing }:\varnothing \to \varnothing \}=\{\varnothing \}.

Ezért nulla darab halmaz Descartes-szorzatának számossága éppen 1.

Avagy a szám n-es írásmód szerint:

\prod _{\varnothing }{}=\{()\},

tehát az egyelemű halmaz, ami az üres szám n-est tartalmazza. Mindkét reprezentáció szerint az üres szorzat elemszáma 1.

A logika területén

A klasszikus logika által definiált konjunkció (logikai és) műveletének általánosítása az elsőrendű nyelvben az univerzális kvantifikáció, amit logikai szorzásnak is neveznek, mivel intuitív módon az igaz értékhez az 1-et, a hamishoz a 0-t társítjuk, amitől kezdve a konjunkció a szorzáshoz hasonlóan viselkedik. A szorzatok tetszőleges számú bemenettel rendelkezhetnek. Nulla bemenet esetén az üres konjunkciót kapjuk, melyhez az „igaz” értéket rendeljük.

A fentiek kapcsolódnak a logika egy másik fogalmához, az üres igazsághoz, mely szerint objektumok üres halmaza bármilyen tulajdonságot felvehet. Ez úgy is magyarázható, hogy a konjunkció (mint általában a logika) 1-nél kisebb egyenlő értékekkel foglalkozik. Tehát minél hosszabb a konjunkció, annál valószínűbben vesz fel 0 értéket. A konjunkció egyszerűen ellenőrzi a kijelentések igazságtartalmát, és ha bármelyik hamis, azonnal 0 értéket ad vissza. Ha 0 tesztet kell elvégeznie, akkor nem találkozhat hamis értékkel, ezért igaz értéket kell visszaadnia.

A számítógép-programozásban

Számos programozási nyelv, köztük a Python is megengedi a számokból álló listák közvetlen felsorolását, és a tetszőleges számú paramétert kezelő függvényeket. Az ilyen nyelvekben a felsorolás elemeit összeszorzó függvény általában a következő módon viselkedik:

   listprod( [2,3,5] ) --> 30
   listprod( [2,3] )   --> 6
   listprod( [2] )     --> 2
   listprod( [] )      --> 1

Ez a konvenció segít elkerülni az egy, illetve nulla elemszámú listák speciális esetként való kezelését.

A szorzás infix (az operandusok közé írandó) műveleti jel, ezért szükségképpen bináris operátor, ami tovább bonyolítja az üres szorzat jelölését. Egyes programozási nyelvek ezt a problémát a változó aritású függvények bevezetésével oldják meg, ilyen a Lispben használt S-kifejezés (szimbolikus kifejezés) vagy teljes zárójelezésű prefix jelölés, ami a nulláris kifejezések természetes alakját adja:

(* 2 2 2)   ; értéke 8
(* 2 2)     ; értéke 4
(* 2)       ; értéke 2
(*)         ; értéke 1

Kapcsolódó szócikkek

Jegyzetek

↑ Jaroslav Nešetřil, Jiří Matoušek. Invitation to Discrete Mathematics. Oxford University Press, 12. o. (1998). ISBN 0-19-850207-9
↑ A.E. Ingham and R C Vaughan. The Distribution of Prime Numbers. Cambridge University Press, 1. o. (1990). ISBN 0-521-39789-8
↑ Page 9 of Lang, Serge (2002), Algebra, vol. 211 (Revised third ed.), Graduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4
↑ Edsger Wybe Dijkstra: How Computing Science created a new mathematical style. EWD, 1990. március 4. (Hozzáférés: 2010. január 20.) „Hardy and Wright: “Every positive integer, except 1, is a product of primes”, Harold M. Stark: “If n is an integer greater than 1, then either n is prime or n is a finite product of primes.”. These examples —which I owe to A.J.M. van Gasteren— both reject the empty product, the last one also rejects the product with a single factor.”
↑ Edsger Wybe Dijkstra: The nature of my research and why I do it. EWD, 1986. november 14. [2012. július 15-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2010. július 3.) „But also 0 is certainly finite and by defining the product of 0 factors —how else?— to be equal to 1 we can do away with the exception: "If n is a positive integer, then n is a finite product of primes."”

További információk

PlanetMath article on the empty product

[1] Jaroslav Nešetřil, Jiří Matoušek. Invitation to Discrete Mathematics. Oxford University Press, 12. o. (1998). ISBN 0-19-850207-9

[2] A.E. Ingham and R C Vaughan. The Distribution of Prime Numbers. Cambridge University Press, 1. o. (1990). ISBN 0-521-39789-8

[3] Page 9 of Lang, Serge (2002), Algebra, vol. 211 (Revised third ed.), Graduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4

[4] Edsger Wybe Dijkstra: How Computing Science created a new mathematical style. EWD, 1990. március 4. (Hozzáférés: 2010. január 20.) „Hardy and Wright: “Every positive integer, except 1, is a product of primes”, Harold M. Stark: “If n is an integer greater than 1, then either n is prime or n is a finite product of primes.”. These examples —which I owe to A.J.M. van Gasteren— both reject the empty product, the last one also rejects the product with a single factor.”

[5] Edsger Wybe Dijkstra: The nature of my research and why I do it. EWD, 1986. november 14. [2012. július 15-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2010. július 3.) „But also 0 is certainly finite and by defining the product of 0 factors —how else?— to be equal to 1 we can do away with the exception: "If n is a positive integer, then n is a finite product of primes."”

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]