Trigonometrikus területképlet

A trigonometrikus területképlet egy tetszőleges háromszög területét két oldal hossza és a közrezárt szög szinusza segítségével fejezi ki.

$T={\frac {a\ m_{a}}{2}}={\frac {a\ b\ \sin \ \gamma }{2}}$

A tétel bizonyítása

1. hegyesszögű háromszög esetén ($\gamma$ hegyesszög): ${\frac {a\ m_{a}}{2}}={\frac {a\ b\ \sin \ \gamma }{2}}$
2. tompaszögű háromszög esetén, $\gamma$ hegyesszög: ${\frac {b\ m_{b}}{2}}={\frac {a\ b\ \sin \ \gamma }{2}}$
3. tompaszögű háromszög esetén, $\gamma$ tompaszög: $m_{a}=b\ \sin(180^{\circ }-\gamma )$ $\longrightarrow$ ${\frac {a\ m_{a}}{2}}={\frac {a\ b\ \sin(180^{\circ }-\gamma )}{2}}$

de $\gamma$ tompaszögű, tehát $\sin(180^{\circ }-\gamma )=\sin \ \gamma$

Ekvivalens alak

Mivel sin α = sin (π - α) = sin (β + γ), azért a trigonometrikus területképlet így is írható:

$T={\frac {1}{2}}ab\sin(\alpha +\beta )={\frac {1}{2}}bc\sin(\beta +\gamma )={\frac {1}{2}}ca\sin(\gamma +\alpha ).$

Speciális esetek

Derékszögű háromszög

A derékszögű háromszög egyik befogóhoz tartozó magassága megegyezik a másik befogóval

Ha a és b egy derékszögű háromszög befogói, akkor a trigonometrikus területképlet a derékszögű háromszög területképletébe megy át: $T={\tfrac {a\cdot b}{2}}$,

mivelhogy a derékszög szinusza 1.

Egyenlő szárú háromszög

Az a szárú, b alapú egyenlő szárú háromszög alaphoz tartozó magassága illeszkedik az alap felezőmerőlegesére, így a Pitagorasz-tétellel $m_{b}={\sqrt {a^{2}-{\tfrac {b^{2}}{4}}}}$, így $T={\tfrac {b}{4}}{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}$.

Egyenlő oldalú háromszög

60 fok szinusza ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$, ezt behelyettesítve az a oldalú egyenlő oldalú háromszög területe $T={\tfrac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$