Valós számok

A valós számok halmaza és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. Ez a Birkhoff-féle "vonalzó"-axióma. A valós számok halmaza végtelen, hisz tartalmazza a szintén végtelen számú természetes, egész és tört számokat, tehát összességében a racionális számok halmazának és az irracionális számok halmazának unióját jelenti. Az irracionális számok definíciója szerint nincs olyan szám, amely egyszerre racionális és irracionális lenne, és a két halmaz elemein kívül más nem tartozik a valós számokhoz. (Vannak viszont számok, amelyek se racionális se irracionális számok, mert nem valós számok, a nagyságuk nem meghatározható a valós számegyenesen vett rendezéssel a 0-hoz képest, tehát nem 0, nem is pozitív és nem is negatív számok. Például a nem valós komplex számok.) A valós számokat a tizedestörtekkel azonosíthatjuk: a véges valamint a végtelen szakaszosan ismétlődő tizedestörtek a racionális számoknak, míg a végtelen, szakaszosan nem ismétlődő tizedestörtek az irracionális számoknak felelnek meg.

A számhalmaz létrehozásában alapvető volt a görögök felfedezése, miszerint kettőnek a négyzetgyöke (a négyzetátló hosszának mérőszáma) nem racionális szám, bár pontos, matematikailag kielégítő definícióra a 19. századig kellett várni.

A Birkhoff-féle "vonalzó"-axióma miatt a valós számok halmaza alkalmas folytonos problémák megoldására. Ugyan a racionális számok halmaza is összefüggő, de nem teljes, azaz vannak racionális számokból álló sorozatok, melyek határértéke irracionális. Folytonos problémák esetén a közelítő megoldások egy valóban létező megoldást közelítenek. Ezt az elvet sokoldalúan alkalmazzák az analízisben, a geometriában és a topológiában. A hosszakat, felszíneket, felületeket, térfogatokat szintén emiatt definiálják valós számokként, és nemcsak a kör meg a gömb miatt. A tapasztalati tudományokban is megmarad ez az elv.

A valós számok halmazának matematikai jele ℝ, TeXben \R ( $\mathbb {R}$ ), Unicode karakterkódja U+211D. A betű a latin realis szóból származik, ami valósat, valóságosat jelent.

A valós számok bevezetése

A valós számok megalkotása

A valós számok megalkotása a racionális számokból a 19. századi matematika fontos lépése volt, mivel lehetővé tette az analízis szilárd alapját. Az első pontos konstrukció Karl Weierstrasstól származik. Ez korlátos sorozatokat használ a valós számok definiálásához.^[1]

A ma használt konstrukciók:

Dedekind-szeletek: Racionális számok felülről korlátos részhalmazainak legkisebb felső korlátaiként definiálja a valós számokat.^[2]
Cauchy-sorozatok ekvivalenciaosztályai: Ez a konstrukció Georg Cantortól származik. Két Cauchy-sorozat ekvivalens, ha megfelelő tagjaik különbsége a nullához tart. Könnyen ellenőrizhető, hogy ez valóban ekvivalencia, és megállapítható, hogy a racionális számok által indukált összeadás és kivonás jóldefiniált. Ezekkel a műveletekkel a valós számok testet alkotnak. A racionális számok indukálnak egy teljes rendezést is, amivel a valós számok halmaza rendezett test.^[3]
Racionális intervallumok egymásba skatulyázott sorozatainak ekvivalenciaosztályai.^[4]
A racionális számok, mint topologikus csoport teljessé tétele abban az értelemben, mint kanonikus uniform struktúra.^[5]

Mindezek a módszerek teljessé teszik a racionális számokat, és izomorfia erejéig ugyanahhoz a struktúrához vezetnek, a valós számok testéhez. Mindegyik módszer a racionális és a valós számok más-más tulajdonságaira és kapcsolatára világítanak rá:

A Dedekind-szeletek módszeréből azonnal látszik a teljes rendezés, a sűrűség és az, hogy minden felülről korlátos halmaznak van legkisebb felső korlátja.
A Cauchy-sorozatok metrikus térként topológiailag teszik teljessé a racionális számokat. Ezzel azonnal látható, hogy a racionális számok sűrűek a valós számok között, és minden Cauchy-sorozatnak van határértéke. Ez a módszer több más matematikai struktúra esetén is alkalmazható.
Az intervallumskatulyázás a valós számok kiszámítását követi, és azt mutatja, hogy egy valós szám tetszőlegesen közelíthető racionális számokkal. A tetszőleges pontosságú közelítés bizonyítja egy valós határérték létezését.
Az uniform struktúraként való teljessé tétel egy általánosabb módszer, aminek alkalmazásához sem rendezésre, sem távolságfogalomra nincs szükség.

Axiomatikus megközelítés

A valós számok egy modelljének nevezzük azt az R halmazt, amely tartalmaz két elemet (0 és 1), értelmezünk rajta két bináris műveletet ( $+$ és $\cdot$ , összeadás és szorzás) és egy bináris relációt (≤), valamint ezek kielégítik a következő tulajdonságokat:

$(\mathbb {R} ,+,\cdot )$ testet alkot, azaz $\forall x,y,z\in \mathbb {R}$ :
- Asszociativitás: $x+(y+z)=(x+y)+z$ és $x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$
- Kommutativitás: $x+y=y+x$ és $x\cdot y=y\cdot x$
- A szorzás disztributív az összeadásra nézve: $x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z)$
- Additív semleges elem, a nullelem létezése: $x+0=x$
- Multiplikatív semleges elem, az egységelem létezése: $x\cdot 1=x$
- Additív inverz létezése: $x+(-x)=0$
- Multiplikatív inverz létezése: ha $x\neq 0$ , akkor $x\cdot x^{-1}=1$
- $0\neq 1$
R-en teljes rendezés ≤, azaz minden $\forall x,y,z\in \mathbb {R}$ :
- Reflexivitás: x ≤ x
- Antiszimmetria: ha x ≤ y és y ≤ x, akkor x = y
- Tranzitivitás: ha x ≤ y és y ≤ z, akkor x ≤ z
- Teljesség: x ≤ y vagy y ≤ x
Az összeadás és a szorzás kompatibilis a rendezéssel, azaz minden x, y, z-re az R-ből:
- Ha x ≤ y, akkor x + z ≤ y + z
- Ha 0 ≤ x és 0 ≤ y, akkor 0 ≤ x*y
Minden nem üres részhalmazának ha van felső korlátja R-ben, akkor van legkisebb felső korlátja (szuprémuma) is R-ben.

Az utolsó tulajdonság fontos, mivel az különbözteti meg például a racionális számok halmazától, mivel az a halmaz, amelynek az elemeinek négyzete kisebb kettőnél, rendelkezik racionális felső korláttal (2 például ilyen), de a legkisebb felső korlátja (a gyök kettő) nem eleme a halmaznak.

A valós számok egy ekvivalens axiómarendszere a "ha van felső korlát, akkor szuprémum is van" helyett az arkhimédeszi axiómát és a Cantor-axiómát választja. Ezzel egyes tételek bizonyítása könnyebb:

Arkhimédeszi axióma: minden valós számhoz található nála nagyobb természetes szám.
Cantor-axióma: egymásba skatulyázott zárt intervallumoknak van közös pontja.

Ezekkel a tulajdonságokkal kimutatható, hogy bármely két modell ami ezeket kielégíti, izomorf.

Az axiómarendszerek közvetlen következményei

A két axiómarendszer ekvivalenciája
Alulról korlátos halmaznak van infimuma, azaz legnagyobb alsó korlátja
Ha egy sorozat monoton nő és felülről korlátos, akkor konvergens. Hasonlóan, egy alulról korlátos monoton csökkenő sorozat is konvergens. A kettőt összetéve kapjuk, hogy ha egy monoton sorozat korlátos, akkor konvergens
konvergens sorozat határértéke egyértelmű

További ekvivalens axiómarendszerek

A szuprémumaxióma helyett ekvivalensen a következők is választhatók:

Az arkhimédészi axióma és az intervallumskatulyázási axióma, amely szerint tetszőleges egymásba skatuyázott korlátos zárt intervallumok metszete nem üres.
Az infimumaxióma, ami azt állítja, hogy minden nemüres, alulról korlátos részhalmaznak van legnagyobb alsó korlátja.
A Heine-Borel-axióma, mely szerint hogyha egy zárt, korlátos sorozatot akárhány nyílt intervallum fed le, kiválasztható véges sok, melyek szintén fednek.
A Bolzano-Weierstraß-axióma, ami azt mondja, hogy minden korlátos végtelen halmaznak van torlódási pontja.
A monotonitási axióma, hogy minden korlátos monoton sorozat korlátos.
Az összefüggőségi axióma, miszerint a valós számok a szokásos topológiával összefüggő teret alkotnak.

A teljességet a folytonos függvények bevezetésével is le lehet írni:

A középérték-axióma: A valós számok egy szakaszán folytonos valós függvény felveszi a két szélső érték közötti összes értéket.
A korlátossági axióma: Korlátos zárt intervallumon definiált valós függvény értékkészlete felülről korlátos.
A maximumaxióma: Korlátos zárt intervallumon definiált valós függvény felveszi maximumát.

Nevezetes részhalmazok

A valós számok gyakran használt részhalmazai:

Racionális számok: $\mathbb {Q} =\left\{\dots ,-{\tfrac {2}{1}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{1}},0,{\tfrac {1}{1}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{1}},{\tfrac {1}{3}},\dots \right\}=\left.\left\{{\tfrac {p}{q}}\right|p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} \setminus \{0\}\right\}$
Egész számok: $\mathbb {Z} =\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}$ .
Természetes számok: $\mathbb {N}$ (a 0 nélkül): $\{1,2,3,\dots \}$ vagy (a 0 számmal): $\{0,1,2,3,\dots \}$ (úgy is, mint $\mathbb {N} _{0}$ ).
Irracionális számok: $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ , azok a valós számok, melyek nem racionálisak.
Algebrai számok: A racionális számok és az algebrai irracionális számok.
Transzcendens számok: Nem algebrai irracionális számok.
Kiszámítható és nem kiszámítható számok.

Racionálisak azok a számok, melyek előállnak két egész szám hányadosaként. Egy szám irracionális, ha valós, és nem írható fel két egész szám hányadosaként. Az irracionális számokat a pitagoreusok fedezték fel. Ilyenek például a nem négyzetszám egészek négyzetgyökei, a nem köbszám egészek köbgyökei, satöbbi. Példák: ${\sqrt {2}}$ , ${\sqrt[{3}]{7}}$ vagy ${\sqrt[{5}]{6}}4$ .

Az algebrai számok egész együtthatós polinomok gyökei; vagyis van egy egész együtthatós polinom, melybe behelyettesítve a számot a polinom értéke nulla. Igazából gyakrabban tekintenek az algebrai számokra a komplex számok részhalmazaként, mivel ezeknek a polinomoknak komplex gyökeik is vannak. Algebraiak a gyökkifejezések, például az $n\in \mathbb {N}$ -edik gyökök és véges összegeik, de nemcsak ezek, hiszen a negyediknél magasabb fokú polinomok nem oldhatók meg gyökjelekkel.

A transzcendens számok az algebrai számok komplementer halmaza. Minden transzcendens szám irracionális. A legismertebb transzcendens számok a $\pi$ és az $e$ . Mindezek a számok kiszámíthatóak, szemben a nem kiszámítható számokkal, mint egy Specker-sorozat határértéke.

További gyakran használt jelölések: Ha $a\in \mathbb {R}$ , akkor

\mathbb {R} ^{\neq a}=\mathbb {R} \setminus \{a\}

az összes valós szám, kivéve a,

\mathbb {R} ^{\geq a}=\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq a\},

\mathbb {R} ^{>a}=\{x\in \mathbb {R} \mid x>a\},

\mathbb {R} ^{\leq a}=\{x\in \mathbb {R} \mid x\leq a\},

\mathbb {R} ^{<a}=\{x\in \mathbb {R} \mid x<a\}.

Speciálisan, ha $a=0$ , akkor $\mathbb {R} ^{>0}$ a pozitív valós számok, $\mathbb {R} ^{\geq 0}$ a nemnegatív valós számok. Ezekben az esetekben használják még a $\mathbb {R} ^{+}$ és a $\mathbb {R} _{0}^{+}$ jelöléseket; azonban egyes szerzőknél $\mathbb {R} ^{+}$ a nemnegatív valós számokat jelenti.

Számosság

A valós számok számosságát kontinuumnak nevezik, és ${\mathfrak {c}}$ -vel jelölik. Ez nagyobb, mint a természetes számok $\aleph _{0}$ számossága, de megegyezik a természetes számok hatványhalmazának számosságával, amit ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}$ fejez ki. A nem megszámlálhatóság azt jelenti, hogy minden $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ lista szükségképpen hiányos.

Az ismert szűkebb számkörök, a racionális számok, az algebrai számok, a kiszámítható számok mind megszámlálhatóak. A racionális számok megszámlálása bizonyítható Cantor módszerével. A nem megszámlálhatóság a kiszámíthatatlan transzcendens számok hozzávételével adódik.

A halmazelméletben Cantor felfedezései után adódott a kérdés: Van számosság a megszámlálható és a kontinuum végtelen között? Vagy a valós számokra megfogalmazva: A valós számok minden nem megszámlálható részhalmaza kölcsönösen egyértelműen megfeleltethető-e a valós számoknak? Ez a kontinuumhipotézis, mely függetlennek bizonyult a szokásos axiómarendszertől, mint a Zermelo-Fraenkel-axiómáktól a kiválasztási axiómával együtt. Nem bizonyítható, nem cáfolható ebben a rendszerben.

Topológia, kompaktság, kibővített valós számok

A valós számok szokásos topológiáját a nyílt intervallumok generálják, azaz az

(a,b)={]a,b[}=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\};a,b\in \mathbb {R}

intervallumok. Rendezési topológiának is nevezik. A $]p-r,p+r[,$ nyílt intervallumok gömbőkként is megadhatók,

B_{r}(p):=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-p|<r\}

,

ahol $p$ középpont és $r$ sugár a $d(x,y):=|x-y|$ abszolútérték által definiált metrikában. Ezzel a generált topológia megegyezik a metrikus tér által generált generált topológiával. Mivel a racionális számok sűrű, de megszámlálható részhalmazt alkotnak, azért néha ezeket a számokat a racionális számokra korlátozzák.

A racionális számokkal szemben a valós számok lokálisan kompakt teret alkotnak. Ez azt jelenti, hogy tetszőleges $x$ valós számnak van nyílt környezete, melynek lezártja kompakt. A Heine–Borel-tétel szerint bármely $U$ nyílt halmaz alkalmas, melyre $x\in U$ , hiszen ${\bar {U}}$ kompakt.

A valós számok halmaza lokálisan kompakt, de nem kompakt. A kiterjesztett valós számok halmaza ennek kompaktifikálása, ${\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \},$ ahol $-\infty$ környezetei a

{\mathfrak {B}}:=\{B_{r}(-\infty )\mid r\in {\mathbb {Q} }^{+}\}

alakú halmazok, és

B_{r}(-\infty ):=\{x\in \mathbb {R} \mid x<-{\tfrac {1}{r}}\}

továbbá

+\infty

környezetei

{\mathfrak {B}}:=\{B_{r}(+\infty )\mid r\in {\mathbb {Q} }^{+}\}

alakúak, ahol

B_{r}(+\infty ):=\{x\in \mathbb {R} \mid x>{\tfrac {1}{r}}\}

.

Ez a topológia eleget tesz a megszámlálhatósági axiómáknak. ${\overline {\mathbb {R} }}\;$ homeomorf a [0,1] zárt intervallummal, például $x\mapsto \arctan x$ egy ${\overline {\mathbb {R} }}\to [-\pi /2,\pi /2],$ homeomorfia. Affin-lineáris függvényekkel a zárt intervallumok homeomorfak egymással. Minden monoton sorozatnak van határértéke; például az

\lim _{n\to \infty }n^{2}=+\infty

valódi határérték.

Az $x\in \mathbb {R}$ rendezésének kiterjesztése: $-\infty <x<\infty$ , így a kiterjesztett valós számok halmaza teljesen rendezett. A testaxiómák nem vihetők át, hiszen az $\infty +x=\infty$ egyenlet nem oldható meg egyértelműen.

Kapcsolódó témák

A számok ábrázolása különböző számrendszerekben.
Valós számok közelítő ábrázolása a számítógépen lebegőpontos számokkal.
Az intervallumaritmetika tekintetbe veszi a kerekítési hibát.
A modellelméletből levezethető a nem standard analízis.

Jegyzetek

↑ Georg Cantor. Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. (1883), § 9, zitiert nach Oskar Becker: Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung. 1. Auflage. suhrkamp taschenbuch wissenschaft, 1995, ISBN 3-518-27714-6, S. 245 ff.
↑ Edmund Landau: Grundlagen der Analysis. Chelsea Publishing New York 1948.
↑ Georg Cantor: Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. (1883), § 9, zitiert nach Oskar Becker: Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung. 1. Auflage. suhrkamp taschenbuch wissenschaft, 1995, ISBN 3-518-27714-6, S. 248.
↑ Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5. Auflage. Springer Verlag, 1964, ISBN 3-540-03138-3; § 3 Die irrationalen Zahlen.
↑ Nicolas Bourbaki. Topologie Générale (2007)

Források

George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano: Thomas-féle Kalkulus I. kötet ISBN 978-963-279-011-4
Császár Ákos: Valós analízis I.
Valós számok
Valós számok a MathWorld-ön
Oliver Deiser: Reelle Zahlen – Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen. Springer-Verlag, 2007, ISBN 3-540-45387-3.
Klaus Mainzer: Reelle Zahlen In: Heinz-Dieter Ebbinghaus et al.: Zahlen. 3. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 1992, ISBN 3-540-55654-0, Kapitel 2.
Otto Forster: Analysis 1. Differential und Integralrechnung einer Veränderlichen. 4. Auflage. vieweg, 1983, ISBN 3-528-37224-9.
Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. 5. Auflage. Teubner-Verlag, 1988, ISBN 3-519-42221-2.
John M. H. Olmsted. The Real Number System. New York: Appleton-Century-Crofts (1962)
Der kleine Duden „Mathematik“, 2., Mannheim [u. a.]: Dudenverlag (1996)

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Reelle Zahl című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

[1] Georg Cantor. Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. (1883), § 9, zitiert nach Oskar Becker: Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung. 1. Auflage. suhrkamp taschenbuch wissenschaft, 1995, ISBN 3-518-27714-6, S. 245 ff.

[2] Edmund Landau: Grundlagen der Analysis. Chelsea Publishing New York 1948.

[3] Georg Cantor: Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. (1883), § 9, zitiert nach Oskar Becker: Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung. 1. Auflage. suhrkamp taschenbuch wissenschaft, 1995, ISBN 3-518-27714-6, S. 248.

[Knopp-4] Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5. Auflage. Springer Verlag, 1964, ISBN 3-540-03138-3; § 3 Die irrationalen Zahlen.

[5] Nicolas Bourbaki. Topologie Générale (2007)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]