Vegyes alapú számrendszer

A vegyes alapú számrendszerek olyan, nem hagyományos helyi értékes számrendszerek, ahol a számrendszer alapszáma helyi értékről helyi értékre változik. Az ilyen számábrázolásnak például akkor lehet szerepe, ha egy mennyiséget mértékegységek olyan sorozataként fejezünk ki, ahol a sorozat minden tagja az előző valahányszorosa, de nem mindig ugyanannyiszorosa. Például az időmérésnél: egy 32 hét, 5 nap, 7 óra, 45 perc, 15 másodperc és 500 ms hosszúságú időtartam vegyes alapú számábrázolásban így is kifejezhető:

... 32, 5,  7, 45; 15,  500
...  ∞, 7, 24, 60; 60, 1000

vagy

32_∞5₇7₂₄45₆₀,15₆₀500₁₀₀₀

A tabulált formátumban a számjegyek az alapszám fölé vannak írva, pontosvessző jelzi a tizedesvesszőt. A numerikus formátumban minden számjegy mellé jobb alsó indexben oda van írva a hozzá tartozó alapszám, a tizedesvessző a hagyományos módon van jelezve. Minden számjegy alapszáma azt a számot jelzi, amennyire szükség van adott mértékegységből, hogy kiadja a következő nagyobb mértékegységet. Emiatt nincs alapszáma az első (legértékesebb) számjegynek (∞-nel jelölve), mivel nincs következő legnagyobb egység (vegyük észre, hogy a hónap vagy az év nem lenne megfelelő nagyobb egységnek, mivel ezek nem egész számú többszörösei a hétnek).

Példák

A legismerősebb példa a vegyes alapú számrendszerekre az időszámítás és a naptárak területén található. A nyugaton használt időszámítás tízes számrendszerbeli évszázadokkal, évtizedekkel és évekkel számol, tizenkettes számrendszerű hónapokkal, harmincas és harmincegyes számrendszerű napokkal, átlapolva ezt az 52-es alapú hetekkel és a hetes számrendszerbeli napokkal. Egy variáns 13-as alapszámú hónapokat, 4-es alapszámú heteket és 7-es alapszámú napokat tartalmaz. Az idő tovább bontható 24-es alapszámú órákra, 60-as alapszámú percekre és másodpercekre, majd decimális tört másodpercekre.

Egy vegyes alapú számrendszer megértését gyakran segíti a tabulált összegzés. A hét 604800 másodperce hétfő éjféltől kezdve így folytatódik:

Alapszám:	7	2	12	60	60
Egység:	nap	fél nap	óra	perc	másodperc
Helyiérték (másodperc):	86400	43200	3600	60	1
Számjegy átváltás …
nap:	0=hétfő, 1=kedd, 2=szerda, 3=csütörtök, 4=péntek, 5=szombat, 6=vasárnap
fél nap:	0=de, 1=du
óra:	a 0 „12”-ként írandó

Ebben a számrendszerben a vegyes alapú 3₇1₂5₁₂51₆₀57₆₀ úgy értelmezhető, mint 5:51:57 du csütörtök és 0₇0₂0₁₂02₆₀24₆₀ pedig hétfő 12:02:24 de lenne. A vegyes alapú számrendszereket gyakran ad hoc módon jelölik.

A maja naptár több, egymást átfedő, különböző alapszámú ciklusból áll. A rövidebb tzolkin 13-szor 20 napos hónapokkal operál. A haab 18-szor 20 napos hónapból állt, kiegészítve 5 nappal. A kettő kombinációja adja az 52 év hosszúságú nagy kört. Ráadásul a „hosszú számítás” során a 20-as szorzószámú katun, baktun stb. jelöli az akár 64 millió évnyi hosszúságú időtartamokat.

A vegyes alapú számrendszerekre másik elterjedt példa a pénz használatában van; különböző vert vagy nyomtatott címletek segítségével kell reprezentálni minden lehetséges pénzmennyiséget. Amikor eldöntik, hogy milyen címleteket nyomtassanak (tehát milyen alapszámokat keverjenek), általában két szempontot vesznek figyelembe: minél kevesebb különböző címletre legyen szükség, és minél kevesebb pénzérmével vagy bankjeggyel ki lehessen fizetni egy tipikus összeget. Például az Egyesült Királyságban £50, £20, £10 és £5-os bankjegyeket, illetve £2, £1, 50p, 20p, 10p, 5p, 2p és 1p-s érméket készítenek – ezek az előnyös számok 1–2–5-sorozatát követik.

Kezelésük

A vegyes alapú számok manipulációját a manuális aritmetikai algoritmusok általánosított verzióival lehet elvégezni. Az APL és a J tartalmaz a vegyes alapú számrendszerbeli számok konvertálásához szükséges operátorokat.

Faktoriális számrendszer

Egy másik vegyes alapú számrendszer az úgynevezett faktoriális számrendszer:

Alapszám	8	7	6	5	4	3	2	1
Helyiérték	7!	6!	5!	4!	3!	2!	1!	0!
Helyiérték decimálisan	5040	720	120	24	6	2	1	1
Legnagyobb megengedett számjegy	7	6	5	4	3	2	1	0

Például a legnagyobb, 6 számjeggyel kifejezhető érték az 543210, ami tízes számrendszerben 719: 5×5! + 4×4! + 3×3! + 2×2! + 1×1! Első ránézésre nem könnyen látható, de a faktoriális számrendszer egyértelmű és teljes. Minden számot pontosan egy módon lehet kifejezni, mivel a megfelelő faktoriálisok az indexükkel szorozva és összegezve mindig a következő faktoriális mínusz egyet adják ki:

$\sum _{i=0}^{n}(([i+1]+1)-1)\cdot ([i]+1)!=([n+1]+1)!-1$

Létezik egy természetes, kölcsönös megfeleltetés a 0, ..., n! − 1 egészek és n elem permutációinak száma között, ami az egészek faktoriális reprezentációját használja a Lehmer-kód alapján.

A fenti egyenlet egy speciális esete annak az általános szabálynak, ami minden számrendszer-alapszámra (legyen az fix vagy vegyes) vonatkozik, és kifejezi, hogy a számrendszerrel kifejezett számoknak egyértelműeknek és teljesnek kell lennie. Minden számot pontosan egy módon lehet kifejezni, mivel a megfelelő súlyok az indexszel szorozva a következő súly mínusz egyet adják:

$\sum _{i=0}^{n}(m_{i+1}-1)\cdot M_{i}=M_{n+1}-1$, ahol $M_{i}=\prod _{j=1}^{i}m_{j},m_{j}>1,M_{0}=1$,

ami könnyen igazolható indukció segítségével.

Prímoriális számrendszer

Egy másik felvetés az egymás után következő prímszámok alapszámként való használata, ahol a helyi értékek a prímoriális számok:

Alapszám:	17	13	11	7	5	3	2
Helyiérték:	(p6=13)#	(p5=11)#	(p4=7)#	(p3=5)#	(p2=3)#	(p1=2)#	(p0=1)#
Decimálisan:	30030	2310	210	30	6	2	1

$\sum _{i=0}^{n}(p_{i+1}-1)\cdot p_{i}\#=p_{n+1}\#-1$, ahol $p_{i}\#=\prod _{j=1}^{i}p_{j}$ és p_j = j-edik prímszám, p₀# = p₀ = 1.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Mixed radix című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Irodalom

• Donald E. Knuth: A számítógép-programozás művészete (ford. Fiala T., Freud R., Gerlits J., Hanák G., Nemetz T.), 2. kötet, Szeminumerikus algoritmusok, 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1994, ISBN 963-16-0076-9. 202‑203. old.
• Georg Cantor. Über einfache Zahlensysteme, Zeitschrift für Math. und Physik 14(1869), 121–128.