Wedderburn-tétel

Wedderburn tétele az absztrakt algebrai tételek közé tartozik. Azt állítja, hogy minden véges ferdetest test, vagyis a szorzás kommutatív. Tehát a végességből következik a kommutativitás. Ebből azonnal adódik, hogy egy olyan ferdetest, ami nem test, végtelen sok elemet tartalmaz; ilyen például a kvaterniók ferdeteste.

A tételt először Joseph Wedderburn bizonyította be 1905-ben. Azóta más matematikusok újabb bizonyításokat is találtak; köztük talán Ernst Witt alábbi gondolatmenete a legismertebb.

Bizonyítás (Witt, 1931)

Tétel: Minden véges ferdetest kommutatív.

Bizonyítás: Legyen $\mathbb {D}$ véges ferdetest. Tekintsük $\mathbb {D}$ centrumát; ez test. Jelöljük ezt a testet $\mathbb {F}$-fel, elemszámát q-val. $\mathbb {D}$ n dimenziós vektortér F fölött egy n természetes számra.

$\mathbb {D}$ elemszáma ezzel qⁿ, ezért multiplikatív csoportja qⁿ-1 elemű (nem tartalmazza a nullelemet). Megmutatható, hogy ennek centruma F multiplikatív csoportja. Legyen $a\in \mathbb {D} \setminus \mathbb {F} .$

Vegyük a centralizátorát. Ez azokból az elemekből áll, amikkel a felcserélhető. Ez részferdetest $\mathbb {D}$-ben; elemszáma q^d, ahol d osztója n-nek. Ennek multiplikatív csoportja megegyezik a $\mathbb {D}$ multiplikatív csoportjában vett centralizátorral.

$\mathbb {D}$ multiplikatív csoportjának osztályegyenletével

$q^{n}-1=q-1+\sum _{d<n:d\mid n}{\frac {q^{n}-1}{q^{d}-1}}$

Az n-edik körosztási polinom osztója az ${\frac {x^{n}-1}{x^{d}-1}}$ hányadosnak minden d < n osztóra.

Ebből $\Phi _{n}(q)\mid q-1,$ ahol $q\geq 2.$ Ez csak úgy lehet, hogy n = 1, tehát $\mathbb {F} =\mathbb {D}$.

Források

• Pelikán József: Algebra