Wieferich-pár

A matematikában Wieferich-párnak nevezik olyan p és q prímszámpárosokat, melyekre igaz, hogy:

p^{q − 1} ≡ 1 (mod q²) és q^{p − 1} ≡ 1 (mod p²)

A Wieferich-párokat Arthur Wieferich német matematikusról nevezték el. Fontos szerepet játszottak Preda Mihăilescu 2002-es Catalan-sejtés-bizonyításában^[1] (azóta Mihăilescu-tétel).^[2]

Ismert Wieferich-párok

Mindössze 7 Wieferich-pár ismert:^[3]^[4]

(2, 1093), (3, 1006003), (5, 1645333507), (5, 188748146801), (83, 4871), (911, 318917) és (2903, 18787). (sorozatok:

A124121,

A124122 and

A126432 in OEIS)

Wieferich-triplett

Egy Wieferich-triplett olyan p, q, r prímhármas, melyekre igaz, hogy:

p^{q − 1} ≡ 1 (mod q²), q^{r − 1} ≡ 1 (mod r²) és r^{p − 1} ≡ 1 (mod p²).

12 Wieferich-triplett ismeretes:

(2, 1093, 5), (2, 3511, 73), (3, 11, 71), (5, 20771, 18043), (5, 53471161, 193), (5, 6692367337, 1601), (5, 6692367337, 1699), (5, 188748146801, 8807), (13, 863, 23), (17, 478225523351, 2311), (83, 13691, 821) és (1657, 2281, 1667). (sorozatok:

A253683,

A253684 és

A253685 in OEIS)

Wieferich-sorozat

Egy k>1 természetes számhoz tartozó Wieferich-sorozat a következőképpen definiálható. A sorozat első eleme, a₁=k, a_n = a legkisebb p prím, amire a_n−1^p−1 nem ≡ 1 (mod p), de a_n−1 ≠ ±1 (mod p). A sejtés szerint bármilyen természetes számmal kezdődjön a sorozat, az végül periodikussá válik. Például legyen a₁ = 2:

2, 1093, 5, 20771, 18043, 5, 20771, 18043, 5, ..., amivel egy hármas ciklusba került a sorozat: {5, 20771, 18043}. (egy Wieferich-triplet)

Legyen a₁ = 83:

83, 4871, 83, 4871, 83, 4871, 83, ..., Szintén körbeért: {83, 4871}. (egy Wieferich-pár)

Legyen a₁ = 59 (egy hosszabb sorozat):

59, 2777, 133287067, 13, 863, 7, 5, 20771, 18043, 5, ... az első példához hasonlóan eljutott 5-höz.

Több olyan érték van, aminek nem ismert a státusa, például legyen a₁ = 3:

3, 11, 71, 47, ? (Nem ismert 47-es alapú Wieferich-prím).

Legyen a₁ = 14:

14, 29, ? (Nem ismert 29-es alapú Wieferich-prím a 2 kivételével, de 2² = 4, ami osztója a 29 − 1 = 28-nak)

Legyen a₁ = 39 (hosszabb sorozat):

39, 8039, 617, 101, 1050139, 29, ? (Elér a sorozat 29-hez)

Nem ismert, hogy léteznek-e olyan a₁ > 1 értékek, amikre a sorozat nem válik periodikussá (tehát korlátok nélkül növekszik).

A sorozatok második elemei, ha a₁=k (k = 2-től): 1093, 11, 1093, 20771, 66161, 5, 1093, 11, 487, 71, 2693, 863, 29, 29131, 1093, 46021, 5, 7, 281, ?, 13, 13, 25633, 20771, 71, 11, 19, ?, 7, 7, 5, 233, 46145917691, 1613, 66161, 77867, 17, 8039, 11, 29, 23, 5, 229, 1283, 829, ?, 257, 491531, ?, ... (láthatóan k = 21, 29, 47, 50 esetre már a második érték is ismeretlen)

Kapcsolódó szócikkek

Jegyzetek

↑ Preda Mihăilescu (2004). „Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture”. J. Reine Angew. Math. 572, 167–195. o.
↑ Jeanine Daems A Cyclotomic Proof of Catalan's Conjecture Archiválva 2006. február 21-i dátummal a Wayback Machine-ben.
↑ Weisstein, Eric W.: Double Wieferich Prime Pair (angol nyelven). Wolfram MathWorld
↑ A124121, For example, currently there are two known double Wieferich prime pairs (p, q) with q = 5: (1645333507, 5) and (188748146801, 5).

Irodalom

Bilu, Yuri F. (2004). „Catalan's conjecture (after Mihăilescu)”. Astérisque 294, vii, 1–26. o.
(1997) „On the p-divisibility of Fermat quotients”. Math. Comp. 66 (219), 1353–1365. o. DOI:10.1090/S0025-5718-97-00843-0.
Steiner, Ray (1998). „Class number bounds and Catalan's equation”. Math. Comp. 67 (223), 1317–1322. o. DOI:10.1090/S0025-5718-98-00966-1.

[1] Preda Mihăilescu (2004). „Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture”. J. Reine Angew. Math. 572, 167–195. o.

[2] Jeanine Daems A Cyclotomic Proof of Catalan's Conjecture Archiválva 2006. február 21-i dátummal a Wayback Machine-ben.

[3] Weisstein, Eric W.: Double Wieferich Prime Pair (angol nyelven). Wolfram MathWorld

[4] A124121, For example, currently there are two known double Wieferich prime pairs (p, q) with q = 5: (1645333507, 5) and (188748146801, 5).

[1]

[2]

[3]

[4]