Fundamentális csoport

A fundamentális csoport egy matematikai, azon belül algebrai topológiai fogalom. Egy topologikus tér valamennyi pontjához hozzárendelhető a fundamentális csoport, amely a pontot tartalmazó komponens 1 dimenziós szerkezetét írja le. A fundamentális csoport az első homotópia csoport.

Szemléltetés

Tekintsünk egy teret, és azokat az utakat, amelyek egy rögzített pontból indulnak, és visszatérnek oda. Két ilyen utat egymás után lehet fűzni, azaz először az egyiket járjuk végig, utána a másikat. Egy utat visszafelé is végigjárhatunk. Ezekre az utakra úgy is tekinthetünk, mintha cérnából lennének, ekkor két utat azonosnak tekintünk, ha az egyik cérnát át lehet mozdítani a téren belül a másik helyzetébe. Például a síkon minden ilyen út behúzható teljesen az origóba, majd vissza egy másikba. Viszont ha kilyukasztjuk a síkot az origóban, és a cérna megkerüli azt a lyukat, akkor ezt a hurkot nem lehet behúzni, tehát nem lesz azonos az egy helyben maradó úttal (ahol nem mozdulunk el az út során a kezdőpontból).

Definíció

Legyen $X$ egy topologikus tér, és $x_{0}$ egy pontja. Egy $f:[0,1]\to X$ folytonos leképezést $x_{0}$ kezdőpontú huroknak nevezünk, ha $f(0)=f(1)=x_{0}$. Két ilyen hurkot, jelölje őket $f$ és $g$, azonosnak tekintünk, ha létezik egy $h:[0,1]\times [0,1]\to X$ folytonos leképezés, amelyre fennállnak a következők: $h(t,0)=f(t)$, $h(t,1)=g(t)$, $h(0,t)=h(1,t)=x_{0}$, ahol $t$ tetszőleges pontja a $[0,1]$ intervallumnak. Ezt a $h$ leképezést homotópiának hívjuk, az $f$ és $g$ függvények homotopikusan ekvivalensek, és egy homotópia osztályhoz tartoznak. A fundamentális csoport elemei ezek a homotópia osztályok.

Ahhoz, hogy csoportstruktúrát kapjunk, értelmeznünk kell a csoportműveleteket: a szorzást, az egységet és az inverzet. Legyen $f$ és $g$ két reprezentánsa két homotópia osztálynak. Ekkor $(f*g)(t)=f(2t)$, ha $t\in [0,1/2]$, és $(f*g)(t)=g(2t-1)$, ha $t\in [1/2,1]$ lesz a szorzatuk egy reprezentánsa. Az inverz és az egység definíciója egyszerűbb: $f^{-1}(t)=f(1-t)$, és $i(t)=x_{0}$ az egység.

A fundamentális csoportot $\pi _{1}(X,x_{0})$-lal jelöljük. Amennyiben a topologikus tér útszerűen összefüggő, minden pontjában azonos a fundamentális csoport, ekkor $\pi (X)$-szel jelöljük.

Példák

1. $\mathbf {R} ^{n}$ (vagy tetszőleges konvex részhalmazának) fundamentális csoportja triviális, azaz minden hurok homotopikusan ekvivalens az egységelemmel: a $h(t,s)={f(t) \over s}$ „összehúzza” az $f$ hurkot a $0$-ba. Az ilyen tereket, ahol a fundamentális csoport triviális, egyszeresen összefüggőnek hívjuk.
2. $S^{1}$, azaz a kör fundamentális csoportja ${\textbf {Z}}$, azaz az egész számok csoportja az összeadásra nézve. Ugyanis bármely $k$ egész számhoz elkészíthető a körön $k$-szor körbefutó hurok, értelemszerűen $0$-hoz a nem körbefutókat, negatív számokhoz pedig azt a hurkot rendelve, ami annyiszor „visszafelé” futja be a kört. Ha egy $k$-szor és egy $l$-szer körbefutó hurkot összefűzünk, $k+l$-szer körbefutó hurkot kapunk. ( Ne feledjük, hogy a negatív és pozitív számot ellentétes körbefutási irányt jelentenek. )
3. $\mathbf {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$, azaz az origóban kilyukasztott sík fundamentális csoportja szintén ${\textbf {Z}}$. Beláthatjuk, hogy a kilyukasztott sík fundamentális csoportja megegyezik a kör fundamentális csoportjával, hiszen az a paraméter, hogy milyen távol van egy pont az origótól, itt nem érdekes, csak a szög számít. Szemléletesen úgy gondolhatunk rá, hogy képzeljük el, mit láthat valaki az origóból nézve az útból. Ilyenkor csupán annyit lát, hogy milyen szögben áll egy pont a pozitív tengelyhez viszonyítva, a távolságot nem. Tehát az egész síkból pontosan azt látja, mintha egy origó középpontú kör volna. Az ilyen jellegű azonosságokat, mint a lyukas sík és a kör között, homotopikus ekvivalenciának hívjuk.
4. Nem minden fundamentális csoport kommutatív: egy gráf mint topologikus tér (CW-komplexus) fundamentális csoportja mindig szabad csoport.

Tulajdonságok és alkalmazásuk

Függés az összefüggőségi komponenstől

A fundamentális csoport valójában nem a bázisponttól, hanem annak összefüggőségi komponensétől függ.

Ugyanis, ha a p pontról áttérünk a q pontba, akkor p és q között van út. Először végigmegyünk ezen az úton p-ből q-ba, majd végigmegyünk a fundamentális csoport p-hez kapcsolódó elemén, végül visszamegyünk a q pontba azon az úton, amin jöttünk. Kapjuk, hogy a q-beli fundamentális csoport tartalmazza a p-beli fundamentális csoport egy konjugáltját, ami izomorf a p-beli fundamentális csoporttal. Hasonlóan, a p-beli fundamentális csoport tartalmaz egy, a q-beli fundamentális csoporttal izomorf csoportot. Ez csak úgy lehet, hogy a két csoport izomorf.

A van-Kampen-tétel

A tétel kimondja, hogy egymást átfedő részhalmazok fundamentális csoportjából kiszámítható az összefüggőségi komponens fundamentális csoportja.

Legyen X=X₁∪X₂, X₁ és X₂ relatív nyílt X-hez. Továbbá ne legyenek diszjunktak, és legyen X₁, X₂ és X₁∩X₂ útösszefüggő. Legyen x₀∈X₁∩X₂, és legyen X₁ fundamentális csoportja prezentálva a G₁ generátorokkal, és az R₁ relátorokkal. Hasonlóan legyen X₂ fundamentális csoportja prezentálva a G₂ generátorokkal, és az R₂ relátorokkal.

Ekkor X fundamentális csoportja prezentálható így:

Π₁(X,x₀)=F(G₁∪G₂/<R₁∪R₂∪R₁₂>)

ahol R₁₂={i_1*(α)=i_1*(β)|∀α∈Π₁(X₁∩X₂,x₀)}

ahol i₁ és i₂ beágyazások X₁-ből és X₂-ből X-be.

Homológia

A fundamentális csoportok nem mindig Abelek. Lefaktorizálva a kommutátorcsoportjukkal viszont már Abel-csoportot kapunk, az első homológiacsoportot.

Alkalmazások

A fundamentális csoportokkal belátható a Borsuk-tétel, a Brouwer-féle fixponttétel és a sündisznótétel.

Mindezek mellett a fundamentális csoport egyes tulajdonságaiból következtetni lehet a topologikus tér egyes tulajdonságaira. Például, ha egy sokaság fundamentális csoportja véges, akkor a sokaság nem metrizálható olyan metrikával, aminek görbülete sehol sem pozitív. A gömb az egyetlen zárt felület, aminek fundamentális csoportja triviális.

Általánosítása

A fundamentális csoport az első homotópiacsoport. Hurkok helyett n dimenziós gömböket véve és azokból csoportot alkotva kapjuk az n-edik homotópiacsoportot.

Források

• Naszódi Márton. algebrai topológia Archiválva 2016. március 5-i dátummal a Wayback Machine-ben