Eltolási tétel

Az eltolási tétel egy számolási szabályt mond ki a szórásnégyzet és a szórás számítására.

Legyenek $x_{1},\dotsc ,x_{n}$ valós számok, és számtani közepüket jelölje ${\overline {x}}$. Ekkor

$\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-n{\overline {x}}^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}$.

Ez segíti a tapasztalati szórásnégyzet kiszámítását, különösen egyenként érkező adatok esetén. Ekkor nem kell letárolni az összes $x_{i}$-t (tár), és nem kell végigfutni az összes tagon (számítási idő). Azonban korlátos számítási pontosság esetén a kivonás miatt vészes kiegyszerűsödés jöhet létre, különösen, ha ${\overline {x}}^{2}$ sokkal nagyobb, mint a szórásnégyzet. Ekkor segíthet a következő ${\tilde {x}}\approx {\overline {x}}$ becslés:

$\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\tilde {x}})^{2}-{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\tilde {x}})\right)^{2}$.

A szakirodalom numerikusan stabilabb számítási módokat is ismer.

Példa

A minőségbiztosítás keretében kávécsomagokat mérlegelnek. Az első négy csomag súlya grammban:

$505,500,495,505$

Az átlagos súly:

${\overline {x}}={\frac {505+500+495+505}{4}}=501{,}25$

A négyzetes eltérések összege:

${\begin{aligned}Q&=(505-501{,}25)^{2}+(500-501{,}25)^{2}+(495-501{,}25)^{2}+(505-501{,}25)^{2}\\&=14{,}0625+1{,}5625+39{,}0625+14{,}0625\\&=68{,}75\,.\end{aligned}}$

További számítások a tétel alkalmazásához:

$q_{1}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}=505+500+495+505=2.005$

$q_{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=255.025+250.000+245.025+255.025=1.005.075$

$Q=q_{2}-{\frac {1}{4}}q_{1}^{2}=68{,}75$

Ezzel például a (korrigált) tapasztalati szórásnégyzet:

$s^{2}={\frac {1}{4-1}}68{,}75\approx 22{,}9\,.$

mivel

$s^{2}={\frac {1}{n-1}}Q\,,$

Ha érkezik még egy csomag, akkor az eltolási tétel szerint a $q_{1}$ és $q_{2}$ összegeket kell továbbszámolni. Az ötödik csomag súlya 510 gramm. Ekkor

$q_{1}^{\text{új}}=q_{1}+510=2.005+510=2.515\,,$

$q_{2}^{\text{új}}=q_{2}+510^{2}=1.005.075+260.100=1.265.175\,,$ végül

$Q^{\text{új}}=q_{2}^{\text{új}}-{\frac {1}{5}}\left(q_{1}^{\text{új}}\right)^{2}=130\,.$

Ezzel az új tapasztalati szórásnégyzet

$s_{\text{új}}^{2}={\frac {1}{5-1}}Q^{\text{új}}=130/4=32{,}5\,.$

Alkalmazások

Szúrópróba kovarianciája

Két valószínűségi változó, $x$ és $y$ a minta különböző tulajdonságait méri, kovarianciájuk

$s_{xy}:=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})\ .$

Eltolási tétellel

$s_{xy}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i})-n{\overline {x}}{\overline {y}}\ .$

A korrigált tapasztalati kovariancia a minta átlagos kovariaciája

$s_{xy}^{*}={\frac {1}{n-1}}s_{xy}\ .$

Valószínűségi változók

Szórásnégyzet

Egy valószínűségi változó szórásnégyzete

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})$

az eltolási tétellel

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}\ ,$

ami König-Huygens-tételként ismert.

A várható érték linearitásával

${\begin{aligned}\operatorname {E} {\bigl (}(X-\operatorname {E} (X))^{2}{\bigr )}&=\operatorname {E} {\bigl (}X^{2}-2X\operatorname {E} (X)+\operatorname {E} (X)^{2}{\bigr )}\\&=\operatorname {E} (X^{2})-\operatorname {E} {\bigl (}2X\operatorname {E} (X){\bigr )}+\operatorname {E} {\bigl (}\operatorname {E} (X)^{2}{\bigr )}\\&=\operatorname {E} (X^{2})-2\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (X)+\operatorname {E} (X)^{2}\\&=\operatorname {E} (X^{2})-\operatorname {E} (X)^{2}.\end{aligned}}$

Az eltolási tétel általánosabb ábrázolása:

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left((X-c)^{2}\right)-\left(\operatorname {E} (X)-c\right)^{2},\quad c\in \mathbb {R}$.

Ha $X$ diszkrét valószínűségi változó az $x_{i},\,i=1,\dots ,n$ lehetséges kimenetekkel, és a hozzájuk tartozó $\operatorname {P} (X=x_{j})=p_{j}$ valószínűségekkel, akkor

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})=\sum _{j}p_{j}\left(x_{j}-\sum _{i}p_{i}x_{i}\right)^{2}=\sum _{i}p_{i}x_{i}^{2}-\left(\sum _{i}p_{i}x_{i}\right)^{2}\ .$

Speciálisan, ha $p_{i}={\frac {1}{n}}$, akkor $\operatorname {E} (X)={\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i}x_{i}$, és a fenti képlettel

${\frac {1}{n}}\sum _{i}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i}x_{i}^{2}-{\overline {x}}^{2}.$

Ha $X$ abszolút folytonos valószínűségi változó, és sűrűségfüggvénye $f$, akkor

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\operatorname {E} (X))^{2}\,f(x)\,\mathrm {d} x\ .$

Az eltolási tétellel

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,\mathrm {d} x-\operatorname {E} (X)^{2}\ .$

Kovariancia

Két valószínűségi változó, $X$ és $Y$ kovarianciája

$\operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))\cdot (Y-\operatorname {E} (Y)))$

Az eltolási tétellel

$\operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)$

Diszkrét esetben

$\operatorname {Cov} (X,Y)=\sum _{j}\sum _{k}(x_{j}-\operatorname {E} (X))(y_{k}-\operatorname {E} (Y))\cdot f(x_{j},y_{k})$

illetve

$\operatorname {Cov} (X,Y)=\sum _{j}\sum _{k}x_{j}\,y_{k}\,f(x_{j},y_{k})-\operatorname {E} (X)\cdot \operatorname {E} (Y)\ ,$

ahol $f(x_{j},y_{k})$ a közös valószínűségi tömegfüggvény, az $X=x_{j}$ és $Y=y_{k}$ valószínűségi tömegfüggvényekkel.

Folytonos esetben legyen $f(x,y)$ $X$ és $Y$ közös sűrűségfüggvénye az $x$, $y$ helyen. Ekkor a kovariancia

$\operatorname {Cov} (X,Y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }(x-\operatorname {E} (X))(y-\operatorname {E} (Y))\cdot f(x,y)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x$

illetve

$\operatorname {Cov} (X,Y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }xy\,f(x,y)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x-\operatorname {E} (X)\cdot \operatorname {E} (Y)\,$

Bizonyítás

A legegyszerűbb esetben adottak az $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ számok, amelyek például egy szúrópróbából származnak. A négyzetes eltérések összegének számítása:

$Q=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\ ,$

ahol

${\overline {x}}:={\frac {1}{n}}(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}$

a számok számtani közepe. Az eltolási tétel egy kis további számolással belátható:

$Q=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2}-2x_{i}{\overline {x}}+{\overline {x}}^{2})=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-2{\overline {x}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)+n{\overline {x}}^{2}$

$\quad =\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-2{\overline {x}}\cdot n{\overline {x}}+n{\overline {x}}^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-n{\overline {x}}^{2}$.

Jegyzetek

• Ausführliche Berechnungen für den diskreten und stetigen Fall a www.mathebibel.de helyen