Erdős–Moser-sejtés

Ez a szócikk Erdős és Moser számelméleti sejtéséről szól. A konvex ponthalmazokon belül fellépő különböző távolságok számáról szóló Erdős–Moser-féle problémáról lásd: Erdős-féle eltérő távolságok problémája.

A matematika megoldatlan problémája: Létezik-e az Erdős–Moser-egyenletnek az $1^{1}+2^{1}=3^{1}$-en kívül megoldása? (A matematika további megoldatlan problémái)

Az Erdős–Moser-sejtés a számelmélet területén a nagy Fermat-tételre emlékeztető diofantoszi egyenletre (Erdős–Moser-egyenlet) vonatkozik:

$1^{n}+2^{n}+\cdots +m^{n}=(m+1)^{n}$

ahol $m\in \mathbb {N} _{>0}$ és $n\in \mathbb {N} _{0}$.

$n=0$-ra az egyetlen megoldás $m=1$,
$n=1$-re pedig az egyetlen megoldás $m=2$.

További megoldások nem ismertek.

Létezik próbálkozás arra, hogy egy Bernoulli-számokhoz kapcsolódó erősebb sejtést igazoljanak, amiből következne az Erdős–Moser-sejtés teljesülése is.

A sejtés

Erdős Pál sejtése szerint a fenti két megoldáson kívül nem létezik az egyenletnek más megoldása.

1953-van Leo Moser bebizonyította, hogy az $n\geq 2$ esetben $m<10^{10^{6}}$-ra nincs megoldás. Analitikai számelméleti módszerekkel dolgozott, részletes számításokat a számítástechnika akkori eszközeivel nem végezhetett. Butske et al. 1999-ben Moser eredményét kiterjesztették $m<1{,}485\cdot 10^{9321155}$-re, majd 2011-ben $m<10^{10^{9}}$-re.

Az n=1 eset

Az $n=1$ esetre az egyenlet alakja:

$1+2+\cdots +m=m+1$

A Gauss-féle összegképlet alapján $1+2+\cdots +m={\frac {m(m+1)}{2}}$. Így tehát:

${\frac {m(m+1)}{2}}=m+1$

Az egyenlet két megoldása $m=-1$ és $m=2$. Mivel kikötöttük, hogy $m\in \mathbb {N} _{>0}$, csak a második megoldás marad.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben az Erdős-Moser-Gleichung című német Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.