Nemeuklideszi geometria

A geometriai rendszerek – geometriák – az alapozásban megfogalmazott premisszákban különböznek. Az euklideszi geometria axiómarendszerétől eltérő alapokra épített rendszereket közös néven nemeuklideszi geometriáknak nevezzük. Eleinte csak az elsőként felfedezett Bolyai–Lobacsevszkij-féle geometriát illették az elnevezéssel, de később újabb geometriákat is találtak.

Az euklideszi párhuzamosság

Eukleidész az Elemek I. könyvében definiálja az egyenesek párhuzamosságát:

• 23. definíció: Két egyenes párhuzamos, ha azok egy síkban fekszenek és mindkét irányban meghosszabbítva nem metszik egymást.

Az évezredes problémát okozó 5. posztulátum pedig kimondja, hogy

• Ha egy egyenes úgy metsz két egyenest, hogy az egyik oldalán keletkező belső szögek összege kisebb két derékszögnél, akkor e két egyenes a metszőnek ezen oldalán meghosszabbítva metszi egymást.

A nemeuklideszi párhuzamosság

Bolyai és Lobacsevszkij a párhuzamost egy külső pont körül forgatott szelők határhelyzeteként definiálják. Az $AM$ egyenesen kívül fekvő $B$ pont körül forgatott egyenesek közül az a $BC$ párhuzamos az $AM$-mel, amelyik elpattan tőle. Más fogalmazásban a forgatott egyenesek közül a párhuzamos az első nem metsző. Bolyai ezt a párhuzamost aszimptotikus párhuzamosnak, vagy egyszerűbben aszimptotának nevezte.

Mivel a forgatott egyenes egyre távolabb metszi az $AM$ egyenest, kísérlettel nem lehet eldönteni, hogy mikor, az $\alpha$ szög milyen értékénél következik be ez az elpattanás. A két kutató ezt a szöget a párhuzamosság szögének nevezte. Mindketten eljutottak annak felismeréséig, hogy a párhuzamossági szög a $B$ pont és az $AM$ egyenes közötti távolsággal összefüggésben van: $\Pi (a)$. Kettejük munkája között csupán annyi a lényeges különbség, hogy Lobacsevszkij a definíciót követően szétválasztja a két lehetséges esetet és az euklideszitől eltérő hiperbolikus geometria tételeit, míg Bolyai a két esetet együtt kezelve a kétféle geometria közös részét, az abszolút geometria tételeit dolgozta ki. Az az eredmény is közismert, hogy a háromszögek szögeinek összege is aszerint egyenlő vagy kisebb két derékszögnél, hogy a síkja euklideszi vagy hiperbolikus.

A hiperbolikus elnevezést a párhuzamos egyenes és a hiperbola rokonítása magyarázza. E geometriában a párhuzamosok közötti távolság csökken, aszimptotikusan közelednek egymáshoz. Ugyancsak fontos különbséget jelent, hogy a balra forgatott egyenes által meghatározott párhuzamos nem azonos a jobbra forgatottal. Ez ellentmond az idézett I.23. definíciónak.

Egy harmadik párhuzamosság

Az 5. posztulátum elhagyásával kapott maradék axiómákból következik (bizonyítható), hogy a párhuzamosság szöge nem lehet derékszögnél nagyobb, s ennek következménye, hogy a háromszögek szögeinek összege sem lehet két derékszögnél nagyobb. A paralellákkal foglalkozó Gerolamo Saccheri (1667–1733) és Johann Heinrich Lambert (1728–1777) eljutottak egy olyan felismerésig, hogy ezt a lehetőséget sem szabad elvetni. Meg kell vizsgálni olyan geometriai rendszerek lehetőségét is, amelyekben a szögösszeg nagyobb $2\pi$-nél. Mivel ez a maradék axiómáknak ellentmond, további axiómá(ka)t kell megváltoztatni, elhagyni vagy másokkal helyettesíteni.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866) két ilyen változtatás lehetőségét mutatta meg, s ezzel két újabb nemeuklideszi rendszert konstruált:

• 1. Egyszeres elliptikus geometria:

1/a. Az egyenes nem választja el egymástól a két félsík pontjait.

1/b. Két egyenesnek mindig van egy közös pontja.

• 2. Kétszeres elliptikus geometria:

2/0. Az egyenes elválasztja a két félsík pontjait.

2/b. Két egyenesnek pontosan két közös pontja van.

Az elliptikus geometria az euklideszi gömbfelületén érvényes szférikus geometriával rokon. A hiperbolikus geometria a pszeudoszféra felületi geometriájával modellezhető.

A három geometria összevetése

Felix Kleintől (1849–1925) származik a háromféle geometria és a kúpszeletek nomenklatúrájának összekapcsolása, mely ez utóbbiak ideális pontjainak száma és az egyeneshez külső pontból húzható párhuzamosok száma közötti analógiára utal. Ennek nyomán használjuk ezeket a jelzőket az Eukleidész (parabolikus), a Bolyai-Lobacsevszkij (hiperbolikus) és a Riemann (elliptikus) nevéhez kapcsolt geometriák megkülönböztetésére.

Az alábbiakban a három rendszerben érvényes néhány trigonometriai összefüggésből látható a különbség, de a rokonság is:

• 1. A síkháromszögek szinusztétele:

1.a. Euklideszi: ${\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}$.

1.b. Hiperbolikus: ${\frac {\sin \alpha }{\mathrm {sh} a}}={\frac {\sin \beta }{\mathrm {sh} b}}={\frac {\sin \gamma }{\mathrm {sh} c}}$.

1.c. Elliptikus: ${\frac {\sin \alpha }{\sin a}}={\frac {\sin \beta }{\sin b}}={\frac {\sin \gamma }{\sin c}}$.

• 2. A síkháromszögek koszinusztétele:

2.a. Euklideszi: $a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma =c^{2}$.

2.b. Hiperbolikus: $\mathrm {ch} a\cdot \mathrm {ch} b+\mathrm {sh} a\cdot \mathrm {sh} b\cdot \cos \gamma =\mathrm {ch} c$.

2.c. Elliptikus: $\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b\cdot \cos \gamma =\cos c$.

(Az elliptikus tételek a gömbháromszögtan ismert összefüggései.)

Még több geometria

Arthur Cayley (1821-1895) korábbi kutatásaira támaszkodva Felix Klein hívta fel a figyelmet arra, hogy a három geometria az egyenesen három eltérő metrikát használ: (A. ábra)

• A parabolikus (euklideszi) metrika a szakaszok hosszát az egységhez ($OE$) viszonyított arányukkal méri: $d_{p}(AB)=AB:OE$.
• Az elliptikus metrika a külső $O$ pontból induló egyenesek szögével méri a szakaszt: $d_{e}(AB)=AOB\angle$.
• A hiperbolikus metrika az $X$ és $Y$ alappontokkal alkotott kettősviszonyt használja: $d_{h}(AB)=k\cdot \ln(ABXY)$.

A pontsor analógiájára definiálható a sugársorok metrikája, a szögmérés (B. ábra):

• Parabolikus metrika: $\delta _{p}(ab)=AB$. (A csúcsot elkerülő egyenesen levő metszet)
• Elliptikus metrika: $\delta _{e}(ab)=ab\angle$. (A "közönséges" szögmérték)
• Hiperbolikus metrika: $\delta _{h}(ab)=k\cdot \ln(abxy)$.

A síkban a lehetséges geometriák úgy adódnak, hogy választunk egy szakasz–metrikát és egy szög–metrikát, tehát 3´3 = 9 síkbeli geometriai rendszert konstruálhatunk. (A térben ezekhez még a lapszögek metrikáját kell csatolnunk, s ezzel 3´3´3 = 27-féle geometriai rendszert választhatunk.) A következő táblázat mutatja a lehetséges síkgeometriákat:

Ezeknek a síkgeometriáknak a "létezését" modellek segítségével lehet igazolni. Ezekben a modellekben az egyenesek és/vagy a pontok szerepét más alakzatok veszik át. A véges modellek használata vezetett a véges geometriák megalkotásához.

További információk

• Hajós György: Bevezetés a geometriába - Tankönyvkiadó, Budapest, 1960
• Bonola, Roberto: A nemeuklideszi geometria története – (inedita), (Online a doksi.net-en)
• Reinhardt,F.-Soeder,H.: SH atlasz-Matematika, Springer-Verlag, Budapest/Berlin, 1993
• Euklidesz: Elemek (Mayer Gyula fordítása), Gondolat, 1983, (Elemek I. könyv, online a MEK-en)
• Bolyai János: Appendix, a tér tudománya (Akadémiai Kiadó, 1973)
• Lobacsevszkij, N.I.: Geometriai vizsgálatok…( Akadémiai Kiadó, 1951)
• Einstein, Albert: A speciális és általános relativitás elmélete (Gondolat, 1963)
• Ribnyikov, K.A.: A matematika története (Tankönyvkiadó, 1968)
• Kerékjártó Béla: A geometria alapjairól (Akadémiai Kiadó, 19??)
• Jaglom, I.M.: Galilei relativitási elve és egy nemeuklideszi geometria (Gondolat, 1985)
• Kerékjártó Béla: A geometria alapjairól (Akadémiai Kiadó, 19??)
• Kárteszi Ferenc: Bevezetés a véges geometriákba (Akadémiai Kiadó, 1972)

Kapcsolódó szócikkek

• projektív geometria