Szinusztétel

A szinusztétel egy geometriai tétel, miszerint egy tetszőleges háromszög oldalainak aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszainak arányával. Tehát

Jelölések a háromszögben

${\frac {a}{b}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}$

vagy (ritkábban)

$a\,:\,b\,:\,c\;=\;\sin \,\alpha \;:\;\sin \,\beta \;:\;\sin \,\gamma$

A szinusztétellel ekvivalens az az állítás, miszerint bármely hegyesszögű háromszögben egy szög szinuszának és a szöggel szemközti oldal aránya állandó (tehát ez az arány független attól, hogy melyik oldalra és vele szemközti szögre írjuk fel). Ez az állandó nem más, mint az adott háromszög körülírt köre átmérőjének reciproka:

${\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}={\frac {1}{2R}}$

ahol R a körülírt kör sugara. A tételt inkább ennek a fordítottjaként használjuk:

${\frac {s}{\sin \sigma }}=2R,$

ahol s a háromszög egyik oldala, σ pedig a vele szemben lévő szög.

Bizonyítás

Derékszögű háromszögekkel

A szokásos jelöléssel élve legyen T a c oldalhoz tartozó magasság talppontja (a c oldal és a hozzá tartozó magasságvonal metszete) és legyen a CT magasságszakasz hossza m. Ekkor az ATC illetve a CTB derékszögű háromszögben felírva az α illetve a β szög szinuszát kapjuk, hogy

$\sin \alpha ={\frac {m}{b}}$ és $\sin \beta ={\frac {m}{a}}$

Ezt a két egyenletet elosztva egymással kapjuk, hogy

${\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}={\frac {\;{\cfrac {m}{b}}\;}{\cfrac {m}{a}}}={\frac {m}{b}}\cdot {\frac {a}{m}}={\frac {a}{b}}$

Köréírt körrel I

A kicsit többet mondó, a körülírt kör sugarát tartalmazó állítás bizonyítása pedig: a körülírt kör S középpontját véve, az SAB háromszög egyenlő szárú lesz, hisz SA=SB=r; s ezért ennek S ponthoz tartozó magasságvonala (egyébként ez az AB=c oldal felezőmerőlegese) felezi a c oldalt. Legyen a c=AB oldal felezőpontja F, ekkor az SFA háromszög derékszögű (hisz elmondtuk, hogy SF merőleges AB=c-re); és S-nél lévő szöge a jelen állítástól függetlenül bizonyítható kerületi és középponti szögek tételéből adódóan γ. Felírva ebben a háromszögben e szög szinuszát: $\sin(\gamma )={\frac {FB}{SB}}={\frac {\frac {c}{2}}{r}}={\frac {c}{2r}}$. Ebből már adódik, hogy ezt a mennyiséget c-vel osztva, épp ${\frac {1}{2r}}$-t kell kapnunk. Eredményünket a c oldal megválasztásától függetlenül kaptuk, tehát érvényes az a, b oldalakra és az α, β szögekre is. QED.

Szinusztétel bizonyítása

Területképletből

A trigonometrikus területképlet felhasználásával egészen rövid bizonyítást kapunk:

$T={\frac {a\ c\ \sin \ \beta }{2}}={\frac {b\ c\ \sin \ \alpha }{2}}\rightarrow a\ \sin \ \beta =b\ \sin \ \alpha$, tehát ${\frac {a}{b}}={\frac {\sin \ \alpha }{\sin \ \beta }}$.

Köré írt körrel II

Adott az $ABC\triangle$, ahol $AB=c,\,AC=b,\,BC=a$, valamint $BAC\angle =\alpha ,\,CBA\angle =\beta ,\,ACB\angle =\gamma$. A köré írt kör középpontja $S$, sugara $R$. Vegyük fel a háromszög egyik csúcsából kiinduló átmérőt, legyen ez a csúcs $A$! Ekkor az átmérő másik végpontja $C'$. Ekkor $AC'B\angle =ACB\angle =\gamma$ a kerületi szögek tétele alapján, valamint $ABC'\triangle$ derékszögű, ezt a Thalész-tétel garantálja. Ekkor a szinuszfüggvény definíciója alapján kapjuk, hogy $c=2R\sin \gamma \Rightarrow {\frac {c}{\sin \gamma }}=2R$. Ez bármelyik oldalra igaz lesz, ebből következik a tétel. Ha $\gamma$ tompaszög, akkor a kör középpontja a háromszögön kívül fekszik, így a $C'$-nél fekvő szög $\gamma$ mellékszöge lesz. Ez nem okoz problémát, tudván, hogy $\sin \alpha =\sin(180^{\circ }-\alpha )$. Derékszög esetén pedig a tétel triviálisan igaz. QED

Alkalmazások

A szinusztétel segítségével a háromszög három független adatából – két oldala és az azokkal szemben fekvő szögei közül – meghatározhatjuk a hiányzó negyediket. A nagyobb oldallal szemközti szög meghatározásakor két megoldást is kaphatunk, mert egy adott (1-nél kisebb) szinuszértékhez egy hegyes- és egy tompaszög is tartozik, ezért mindig mérlegelni kell, melyik megoldás jó.

Források

• dr. Pelle Béla. Geometria. Tankönyvkiadó Vállalat (1974). ISBN 963-17-0746-6 

Kapcsolódó szócikkek

• Koszinusztétel
• Tangenstétel
• Kotangenstétel
• Vetületi tétel
• Mollweide-formula