Bienaymé-formula

A Bienaymé-formula egy alapvető összefüggés a szórásnégyzettel (variancia) kapcsolatban.

A valószínűségszámításban az eloszlásokat számos paraméterrel lehet jellemezni. A szórásnégyzet azt mutatja meg, hogy egy valószínűségi változó milyen mértékben szóródik a várható értéktől (középérték), más szóval mennyire kenődik el. A szórásnégyzet paramétert az eloszlások megkülönböztetésére is alkalmazzák. Az egyik ok, hogy előnyben részesítik más szórást jellemző paraméterrel szemben, az a korrelálatlan valószínűségi változókra érvényes Bienaymé-formula:^[1]

\operatorname {Var} {\Big (}\sum _{i=1}^{n}X_{i}{\Big )}=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{i}).

Ezt az összefüggést Bienaymé fedezte fel 1853-ban. Irénée-Jules Bienaymé (1796 – 1878) francia statisztikus volt.

Gyakran azt a feltételt fogalmazzák meg, hogy a független változókra érvényes a kifejezés, de a korrelálatlanság elégséges feltétel. Ha minden változónak hasonló a szórásnégyzete σ², akkor, mivel az n-nel történő osztás lineáris transzformáció, a szórásnégyzet várható értéke:

\operatorname {Var} \left({\overline {X}}\right)=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} \left(X_{i}\right)={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.

Ha n nő, akkor a szórásnégyzet várható értéke csökken. Ezt az összefüggést a mintavétel átlagainak standard hiba definíciójánál használják, melyet a központi határérték elméletnél alkalmaznak.

Irodalom

Goodman, Leo A: On the exact variance of products. (hely nélkül): Journal of the American Statistical Association. 1960. 708–713. o. ISBN 978-963-279-026-8

Kapcsolódó szócikkek

Jegyzetek

↑ Michel Loeve (1977) "Probability Theory", Graduate Texts in Mathematics, Volume 45, 4th edition, Springer-Verlag, p. 12.

[1] Michel Loeve (1977) "Probability Theory", Graduate Texts in Mathematics, Volume 45, 4th edition, Springer-Verlag, p. 12.

[1]